Tarea

 

SE REALIZARA UNA INVESTIGACION DE DONDE SE PUEDEN OBSERVAR LA APLICACION DE LAS ECUASCIONES DE PRIMER, SEGUNDO Y TERCER GRADO ADEMAS DE SU REPRESENTACION A TRAVES DE LA OBSERVACION DE OBJETOS MATEMATICOS.

EJEMPLO DEL OBJETO MATEMATICO:

EN UNA GRUA UNDUSTRAIL SE PUEDEN OBSEWRVAR LA APLICACION DE ECUASIONES YA QUE SE REQUIERE QUE LA GRUA ESTE EQUILIBRADA EN AMBAS PLUMAS:

COMO EJEMPLO:

UNA GRUA INDUSTRIAL CARGA MATERIAL CON UN PESO DE 20 TONELADA Y EN LA CONTRAPLUMA PARA EQULIBRARLA TIENE 4 HORMIGONES PARA EQUILIBRARLA. LA PREGUNTA ES CUANTO PESA CADA HORMIGON

SOLUCION 4X=20

X=20/4
X=5

CADA HORMIGON PESA 5 MTONELADAS PARA EQULIBRAR LA PLUMA.

DE ESTA MANERA USTEDES TENDRAN QUE INVESTIGAR DONDE Y EN QUE SE PLICAN LAS ECUACIONES

Procesos

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

EJEMPLO

resolver la siguiente ecuación de primer grado 20x+10=50 paso

 #1 agrupar termino semejantes

20x=50-10

 paso # 2 se realizan las operaciones necesarias

 20x=40

paso # 3 se despaja la incógnita "x" como coeficiente esta multiplicando a x al despajar pasa con la operación contraria x=40/20 por lo tanto el valor de x es : 2

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:

omo vimos en la descripción, cualquier ecuación de segundo grado se puede expresar de la forma:

ax² +bx + c = 0

donde a, b y c serán números enteros (positivos o negativos). Para ello bastará obtener el denominador común (si hay denominadores), para eliminarlo y pasar todos los términos al primer miembro.

Sabemos que una vez conseguida dicha forma, las dos "posibles" soluciones de la ecuación son:

Así la ecuación del ejemplo inicial: 3x² - 4x + 1 = 0: tendrá por soluciones:

Luego 1 y 0,33 son las dos soluciones o raíces de la ecuación.

 

 

ECUACIONES DE TERCER GRADO

Los pasos de la resolución son:

• Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0 ). Se obtiene:

x³ + b'x² + c'x + d' = 0 con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a.

• Proceder al cambio de incógnita z = x + b'/3, para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarollar (z - b'/3)³ con la identidad precedente, vemos aparecer el término -b'z², compensado exactamente por b'z² que aparece en b'(z - b'/3)². Se obtiene:

z³ + pz + q = 0, con p y q números del cuerpo.

• y ahora, la astucia genial: escribir z = u + v.

La ecuación precedente da (u + v)³ + p(u+v) + q = 0.

Desarollando: u³ + 3u²v + 3uv² + v³ + pu + pv + q = 0.

Reagrupando: (u³ + v³ + q) + (3uv² + v³ + pu + pv) = 0.

Factorizando: (u³ + v³ + q) + (u + v)(3uv + p) = 0.

Comó se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z) , es posible imponerse una condicion adicional. Concretamente:

3uv + p = 0, que implica u³ + v³ + q = 0 .

• Pongamos U = u³ y V = v³. Entonces tenemos U + V = - q y UV = - p³/27 porque UV = (uv)³ = (-p/3)³.

Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar (E) X² + qX - p³/27 = 0, que se sabe resolver.

Luego u y v son raíces cúbicas de U y V (que verifican uv = -p/3), z = u + v y finalmente x = z - b'/3. En el cuerpo C, si u₀ y v₀ son estas raíces cúbicas, entonces las otras son ju₀ y j²u₀, y por supuesto jv₀ y j²v₀, con j = e^2iπ/3, una raíz cubica de la unidad.

Como el producto uv está fijado ( uv = -p/3) las parejas (u, v) posibles son ( u₀, v₀), ( ju₀ , j²v₀) y (j²u₀, jv₀).

Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto ju₀ + j²v₀ - b'/3 y j²u₀ + jv₀ - b'/3.

Recursos

Evaluación

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

La suma de las edades de A y B es 84 a˜nos, y B es 8 a˜nos menos que A. Hallar ambas
edades.
Soluci´on:
Sea x=edad de A.
Como B tiene 8 a˜nos menos que A; x-8=edad de B.
La suma de ambas edades es 84 a˜nos; luego tenemos la ecuaci´on:

Pague $87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero cost´o $5 m´as que el libro
y $20 menos que el traje. ¿ Cu´anto pagu´e por cada art´Ä±culo?
Soluci´on:
No esta de m´as decir que la asignaci´on de la letra ”x”tiene mucho que ver en la simplicidad
de la resoluci´on del problema.
Sea x=precio del libro. Como el sombrero cost´o $5 m´as que el libro:
x + 5 = precio del sombrero
.
El sombrero cost´o $20 menos que el traje; luego, el traje cost´o $20 m´as que el sombrero;
x + 5 + 20 = x + 25 =
precio del traje.
Como todo cost´o $87; la suma de los precios del libro, del sombrero y el traje tiene
que ser igual a $87: de aqu´Ä± tenemos la ecuaci´on,
x + x + 5 + x + 25 = 87
Usando cualquier m´etodo para encontrar el valor buscado, tenemos que x=19, $19
precio del libro.
x+5=19+5=24, $24 precio del sombrero y
x+25=19+25=44, $44 precio del traje.
Checando el resultado con las condiciones iniciales; 19+24+44=87.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

EJERCICIOS

Utiliza la siguiente escena, cambiando los valores de los parámetros a, b y c de forma adecuada, para resolver las siguientes ecuaciones gráficamente.

a) x² - 2x -1 = 0

b) x² -1/4 = 0

c) 4x² - 4x +1 = 0

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Los siguientes problemas se plantean mediante una ecuación de segundo grado, aunque luego al resolverla pueda dar lugar a una ecuación de primer grado en algún caso.

Problema 1.- Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos

Solución: Se puede realizar el siguiente dibujo del problema, teniendo en cuenta que la hipotenusa el el lado mayor y llamando "x" al menor de los catetos.

Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple: (x+2)² = (x+ 1)² + x².

Operando: x² + 4x + 4 = x ² + 2x + 1+ x².

Agrupando todos los términos en el segundo miembro y simplificando: x² - 2x - 3 = 0

Ecuación que sabes resolver numéricamente, con soluciones: x = 3 y x = -1 como puede verse en la siguiente escena.

 

Naturalmente la solución x =-1 hay que rechazarla porque un lado no puede tener una medida negativa, luego nos queda:

Hipotenusa: x + 2 = 5 ; Cateto mayor: x + 1 = 4 ; Cateto menor: x = 3.

 

Plantea la ecuación necesaria en cada caso para resolver los siguientes problemas. Resuélvelas numéricamente y también gráficamente usando la escena anterior

 

ECUACIONES DE TERCER GRADO

1) (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1

(2) (x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8

(3) (x^3 - 1) = (x - 1) * (x^2 + x + 1)

(4) (x^3 + 8) = (x + 2) * (x^2 - 2x + 4)

(5) si x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0

entonces x^2 * (x + 4) - 9 * (x + 4) = 0
entonces (x^2 - 9) * (x + 4) = 0
entonces (x - 3) * (x + 3) * (x + 4) = 0

Notas

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