Tarea

                        Diferencia de cuadrados y binomios conjugados

resuelve:

) a²b - ab² =

  2) 6p²q + 24pq² =

  3) 12x³y - 48x²y² =

  4) 9m²n + 18 mn² - 27mn=

  

  

   7) x² - 8x + 16 =

   8) 16y² + 24y + 9 =

   9) 36a² - 12a + 1 =

 10) 4x² + 20xy + 25y² =

 11) 16x² - 25y² =

 12) 144 - x²y² =

 13) 36 - 25a² =

 14) 25 - 4a² =

 15) 16m²n² - 9p² =

 16) x² - 4x + 3 =

 17) x² - 2x - 15 =

 18) x² - 7xy - 18y² =

 19) 12 - 4x - x² =

 20) 5x² - 11x + 2 =

 21) 6x² - 7x - 5 =

 22) 12x² + 17x - 5 =

 23) 7u⁴ - 7u²v² =

 24) kx³ + 2kx² - 63kx =

 25) 5x³ - 55x² + 140x =

 26) 4m²n² + 24m²n - 28m² =

 27) 7hkx² + 21 hkx + 14hk =

 28) wx²y - 9wxy + 14wy =

 29) 2x³ + 10x² + x + 5 =

 30) px + py + qx + qy =

 

Procesos

.

1. Ordena los trinomios con sus argumentos desde mayor a menor. El argumento es la variable en el polinomio; el orden normal para alistar los términos es de más alto a menor. Así, 5 + x2 + 6x debería reacomodarse como x^2 + 6x + 5.
    
   

    

    

    

    
   • Así, en el trinomio 3x2 + 18x + 15, cada constante es un múltiple de 3, así que el 3 puede factorizarse para hacer 3(x2 + 6x + 5).
      
   • En el trinomio - x2 - 2x – 1, cada componente se ha multiplicado por -1, lo cual puede factorizarse y escribirse de tal manera (-1)(x^2 + 2x + 1) o de forma más usual -( x2 + 2x + 1).
      
   • En el trinomio 3x^2 y + 3xy – 60y, cada componente ha sido multiplicado por 3y, lo cual puede factorizarse para escribir 3y(x^2 + x - 20).
      
    
2. 2
   Descompón el trinomio a dos factores binomiales. Un binomio es un polinomio con 2 componentes en la forma de mx + n, donde m y n representan constantes numéricas. El primer término de cada uno de los 2 factores binomiales será uno de los factores del primer término en el trinomio (ax^2) y el segundo término de los dos factores binomiales será uno de los factores del tercer término (c). Multiplicar el primer término en el primero binomio por el segundo término en el segundo binomio y sumar el producto del primer término en el segundo binomio multiplicado por el segundo término del primer binomio deberá producir el segundo término del trinomio (bx).
    
   

    

    

    

    
   • Así que, para el trinomio x^2 + 6x + 5, el primer término de cada factor binomial será x, porque x por x produce x^2. Los últimos términos de cada factor binomial son 5 y 1, ya que 5 veces 1 es igual a 5. Los factores binomiales son (x + 5)(x + 1), los cuales pueden revisarse si se multiplica el primer término en el primer binomio por el segundo término en el segundo binomio, produciendo x, y sumándolo en el segundo término en el primer binomio por el primer término en el segundo binomio, o 5x, haciendo una suma de 6x, el segundo término en el trinomio.
      
   • Cuando hay varios factores posibles para uno de los números, el valor correcto de cada binomio tiene que razonarse. Para el trinomio x^2 + x – 20, mientras que el primer término en cada factor binomial será x, ya que el valor de a en un trinomio se entiende como 1, el valor absoluto de c, 20, puede factorizarse en 20 veces 1, 10 veces 2, o 5 veces 4. Viendo el valor de b, el cual es 1, los factores en el segundo término de cada binomio deben sumarse a 1. Ya que el valor actual de c es un número negativo, -20, uno de los factores debe ser negativo, porque un número positivo por uno negativo es igual a un número negativo. Como 5 - 4 (o 5 más - 4) es igual 1, el par correcto de factores binomiales es (x + 5)(x - 4).
      
    

1. 1
   Revisa si la constante en el primer o tercer término de un trinomio es un número primo. Un número primo puede dividirse sólo por sí mismo y 1. Esto reduce el número de posibles factores binomiales. En el ejemplo previo de x^2 + 6x + 5, ya que 5 es un número primo, sólo hay un set de factores binomiales posible, (x + 5)(x + 1).
    
   

    

    

    

    
    
2. 2
   Revisa si el trinomio es un cuadrado perfecto. Los cuadrados perfectos son el resultado de números que pueden multiplicarse por si mismos: 1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9, y así sucesivamente. Para el trinomio ax^2 + bx + c, para que sea un cuadrado perfecto, los valores de a y c deben ser cuadros perfectos, y los valores de b deben ser el doble del valor del producto de las raíces cuadradas de a y c.
    
   

    

    

    

    
   • El trinomio x^2 + 6x + 9 es una cuadrado perfecto y puede factorizarse en (x + 3)(x + 3). El valor de a que es 1, el cual es 1 al cuadrado; el valor c es 9, el cual es 3 al cuadrado, y el valor de b que es 6, el cual es el doble del producto de las raíces cuadradas de a y c, o 2(1 * 3).
      
   • El trinomio 4x^2 + 12x + 9 es también un cuadrado perfecto y puede factorizarse en (2x + 3)(2x + 3). El valor de a es 4, el cual es 2 al cuadrado; el valor de c de nuevo es 9, el cual es 3 al cuadrado, y el valor de b es 12, el cual es el doble del producto de las raíces cuadradas de a y c, o 2(2 * 3).
      
   • Nota que para que un trinomio sea un cuadrado perfecto, los valores de a y c deben ser valores positivos. Si ambos son negativos, primero factoriza -1 fuera de cada término en el trinomio para hacer los valores positivos, lo cual invertirá el símbolo para la b de positivo a negativo, o de negativo a positivo.
      
    
3. 3
   Observa si el trinomio es un binomio factorizable. Algunos binomios pueden factorizarse en binomios componentes como los trinomios. Estos se escriben en forma de ax^2 - c, donde a y c son cuadrados perfectos. Estos binomios factorizan en pares de binomios donde el primer y segundo término de cada binomio son idénticos, excepto que el primero tiene un signo de más entre los términos y el segundo uno de menos.
    
   

    

    

    

    
   • Por ejemplo, el binomio 4 x^2 - 9 se factoriza en (2x + 3)(2x - 3), ya que 2 es la raíz cuadrada de 4 y 3 es la raíz cuadrada de 9. Ya que multiplicar un positivo por un negativo te da un número negativo, un binomio del par tiene un signo de más antes del 3 y el otro uno de menos. Multiplicar ambos pares produce 4x^2 + 6x - 6x - 9, o simplemente 4x^2 - 9.
      
    

Algunos trinomios pueden nominalmente parecen ser de un grado más alto, pero esencialmente sólo son cuadráticas. Una vez que los identifiquen, pueden ser tratadas como tal.

1. 1
   Busca variables en cada término. Por ejemplo, x^6 - 7x^3 + 12 parecen ser de grado 6, pero después de hacer la sustitución, u=x^3, se convierte en u^2 - 7u + 12. Esto aplica a los polinomios multivariables. Por ejemplo, x^5y - 7x^3y^2 + 12y^3 se simplifica a xy^3(u^2 - 7u + 12) después de la sustitución de u = x^2/y. Tal sustitución puede ser posible cuando la suma de los grados de dos términos sea dos veces el grado del término restante.
    
   

    

    

    

    
    
2. 2
   Si esa sustitución puede hacerse, factoriza el polinomio más simple, en este caso, u^2 - 7u + 12 = (u-3)(u-4)
    
   

    

    

    

    
    
3. 3
   Deshaz la sustitución presentando la solución en la variable original, x. Quedaría, x^6 - 7x^3 + 12 = (x^3 - 3)(x^3 - 4). De ser posible, reduce más cada factor.
    
   

    

    

    

    
    

Este teorema aplica a los polinomios con un número de términos, pero aplica particularmente a los trinomios ya que sus coeficientes son cero. No es una técnica de factorización, pero puede identificar cuando un polinomio se puede reducir.

1. 1
   Encuentra los primos, p, que dividen tanto el término constante como el término medio.
    
   

    

    

    

    
    
2. 2
   Para cada uno, revisa las siguientes dos condiciones.
    
   

    

    

    

    
   • El término constante puede ser un múltiple de p, pero no un múltiple de p^2.
      
   • El término principal no puede ser un múltiple de p.
      
    
3. 3
   Si hay un primo que divide todos los coeficientes excepto el coeficiente principal, pero sólo divide el término constante una vez, entonces el polinomio no puede reducirse. Einstein permite una forma rápida para determinar que 14x^9 + 45x^4 + 51 no se puede reducir por que el primo 3 se divide entre 45 y 51, pero no 14 y 9 no se divide entre 51.
    
   

    

    

    

    
    

Los trinomios de un grado más alto en varias variables pueden convertirse en cuadráticas o incluso en lineales en una de las variables.

1. 1
   Considera un trinomio como 4x^3y^2 - 5x^4 + 15y. Es grado 5 en 'x' y 'y', pero sólo grado 2 en 'y'.
    
   

    

    

    

    
    
2. 2
   Reescribe como polinomio en esa variable, tratando a las demás variables como coeficientes. Eso es, escribe (4x^3)y^2 + (15)y - (5x^4).
    
   

    

    

    

    
    
3. 3
   Resuelve para 'y' en términos de 'x' usando la fórmula cuadrática.
    
   

Recursos

Evaluación

LOS EJERCICIOS EN GENERAL TIENEN UN VALOR DE 30% DE CALIFICACIÓN ES DECIR QUE CADA TRINOMIO RESUELTO TENDRÁ UN VALOR DE 1%. ES NECESARIA LA CONCENTRACIÓN EN ESTE TEMA PARA OBTENER UNA BUENA NOTA.....

Notas

ES MUY IMPORTANTE TAMBIÉN QUE NO SOLO APRENDAS LOS PASOS SI NO QUE TAMBIÉN LOS PRACTIQUES.....MENOS PALABRAS Y MAS ACCION