PRIMER ESTADIO: LOS AGRUPAMIENTOS.

En la multiplicación, a diferencia de las operaciones de suma y resta, el niño debe coordinar tres cantidades en una sola situación, algo obvio para el adulto, pero como ya se ha anotado, es un concepto nuevo para él. Además, cada una de esas cantidades encierra un significado matemático diferente. Según nuestra propuesta, los tres significados deben conjugarse en un solo cuadro de significado, como una sola situación. Por ejemplo, 3 × 4 = 12. En esta expresión hay implicados grupos de cantidades iguales. En una modelación con objetos concretos “se verán” los grupos, lo que aparentemente parecería obvio de pensar por parte del niño. Sin embargo, para la conciencia del niño no es ni obvio ni claro. Lo que en este artículo se quiere sugerir es que, para que sea explícito en la conciencia del niño, como una necesidad, como parte fundamental de una situación de multiplicación, el agrupamiento de cantidades tendrá que vivirse, experimentarse varias veces y de diferentes maneras.

Esta acción de agrupar para componer y descomponer cantidades puede considerarse la base para la conceptualización de la multiplicación. En este análisis se considera el primer requerimiento para la conceptualización. Y a este requerimiento le corresponderá una situación de aprendizaje específica.

SEGUNDO ESTADIO: LOS ENCAJAMIENTOS.

Luego de los agrupamientos, el niño experimentará con lo que hemos denominado encajamientos. Para un niño novato, de ocho años, por ejemplo, puede ser muy complicada la pregunta: ¿cuántas veces cabe (o está) el 5 en 30? Y preguntas de este tipo pueden seguir perturbándolo durante un gran trecho de su recorrido escolar. Esta idea de cuántas veces cabe será lo que se pretende solucionar con el segundo tipo de actividades de aprendizaje, expuestas en la siguiente sección.

Ahora bien, es frecuente que en el currículo de matemáticas el tema múltiplos-submúltiplos se exponga luego del tema de la operación multiplicación. Eso puede obedecer a que en la matemática escolar es convencional que se parta de las definiciones de los libros de texto, y la definición de múltiplo-submúltiplo lleva implicada la operación de multiplicación.

Según la experiencia de los autores, luego de enseñar durante varios años al grupo de estudiantes del Centro Tutorial, es raro el caso en el que el niño es capaz de aplicar la operación de multiplicación a un grupo de cosas si solo ha aprendido la multiplicación a partir de las tablas

Voces y Silencios: Revista Latinoamericana de Educación, Vol. 2, No. especial, Artículos

de multiplicar —es decir, solo con símbolos numéricos—. Por el contrario, la hipótesis es que si procede a partir del hecho de aprender relacionando cantidades con grupos de cosas, es posible que pueda equilibrar el invariante parte-todo. De esta manera, resulta válido pensar que si las experiencias de aprendizaje a que se ve expuesto el niño no le permiten la oportunidad de relacionar cantidades de cosas agrupadas ordenadamente en una cantidad total o todo, muy probablemente encontrará dificultades en su pensamiento de la multiplicación.

Alguien podría preguntar, o afirmar, que aun sin el primer requerimiento, o sea, la actividad de agrupamientos, el niño podría pensar las relaciones parte-todo (múltiplos-submúltiplos). Nosotros responderíamos que sí. La diferencia es operar con plena conciencia, con un significado más rico y complejo del sentido matemático de lo que se está haciendo, del por qué se procede así.

TERCER ESTADIO: EL SIGNIFICADO DE “VECES”

En general, en la enseñanza de la matemática escolar basada en operaciones de cálculo que se consignan a partir de símbolos no queda lugar para experimentar las operaciones de la aritmética como un hacer, como una acción orientada a transformar cantidades. La perspectiva de la operación como un hacer que un sujeto realiza favorece una manera de proceder que está en la base del quehacer matemático. Históricamente, antes que un saber disciplinar de las matemáticas, fueron las acciones humanas de organizar cantidades y transformarlas (Bell, 2004). La necesidad de proceder paso a paso en toda acción física encaminada a un propósito se organiza en el pensamiento de manera secuencial (Hawkins y Blakeslee, 2005).

Podría asumirse, igualmente, que actuar organizadamente para transformar cantidades en relaciones matemáticas cada vez más complejas se halla en la base del método de razonamiento deductivo que le es propio a la matemática (Bell, 2004). Los autores de este estudio también asumen que este experimentar fáctico-histórico está también en la fundamentación cognitiva del desarrollo del pensamiento matemático infantil (Piaget y García, 1982). De ahí que se haya considerado que el procedimiento de las cuatro operaciones aritméticas con el número natural sea antes vivenciado como un hacer, orientado a un objetivo, casi siempre de cuantificación.

Cuando el niño ingresa a pensar la multiplicación, luego de que ha experimentado y hecho consciente el agrupamiento de cantidades y la relación parte-todo (múltiplo-submúltiplos), será importante que experimente y piense ahora esta misma relación como una sucesión o progresión de veces en que se agrega secuencialmente cada uno de los grupos parte. La perspectiva de asumir la operación de la multiplicación como una acción y experimentación de agregar consecutivamente cantidades iguales de grupos de cosas, a la manera de una progresión o de una cantidad que crece en la medida que se van agregando las cantidades iguales, favorece en el niño la construcción de significado del término veces como una sucesión progresiva.

L. Lotero, E. Andrade, y L. Andrade Artículos

CUARTO ESTADIO REQUERIMIENTO: LOS DOS FACTORES COMO RELACIÓN DE CORRESPONDENCIA

En una operación de multiplicación, por ejemplo, ¿por qué sumar grupos de 3 manzanas 5 veces? ¿De dónde surge la decisión de que sea 5 y no 8? Es importante que el niño logre comprender que la realización de una operación de multiplicación se configura en un contexto de vida en el que hay dos cantidades: en este caso, la decisión de agrupar de a 3 manzanas, y otra cantidad que determina cuántas veces tomamos grupos de 3 manzanas, por ejemplo, 5 niños. Este punto es importante, puesto que el 5 no es una cantidad de cosas que está en la cantidad transformada, o sea, multiplicada. En otras palabras, la cantidad transformada son manzanas y ese 5 será una cantidad de referencia, o sea, externa a la cantidad que se va a transformar.  

PRIMER ESTADIO: LOS AGRUPAMIENTOS.

En la multiplicación, a diferencia de las operaciones de suma y resta, el niño debe coordinar tres cantidades en una sola situación, algo obvio para el adulto, pero como ya se ha anotado, es un concepto nuevo para él. Además, cada una de esas cantidades encierra un significado matemático diferente. Según nuestra propuesta, los tres significados deben conjugarse en un solo cuadro de significado, como una sola situación. Por ejemplo, 3 × 4 = 12. En esta expresión hay implicados grupos de cantidades iguales. En una modelación con objetos concretos “se verán” los grupos, lo que aparentemente parecería obvio de pensar por parte del niño. Sin embargo, para la conciencia del niño no es ni obvio ni claro. Lo que en este artículo se quiere sugerir es que, para que sea explícito en la conciencia del niño, como una necesidad, como parte fundamental de una situación de multiplicación, el agrupamiento de cantidades tendrá que vivirse, experimentarse varias veces y de diferentes maneras.

Esta acción de agrupar para componer y descomponer cantidades puede considerarse la base para la conceptualización de la multiplicación. En este análisis se considera el primer requerimiento para la conceptualización. Y a este requerimiento le corresponderá una situación de aprendizaje específica.

SEGUNDO ESTADIO: LOS ENCAJAMIENTOS.

Luego de los agrupamientos, el niño experimentará con lo que hemos denominado encajamientos. Para un niño novato, de ocho años, por ejemplo, puede ser muy complicada la pregunta: ¿cuántas veces cabe (o está) el 5 en 30? Y preguntas de este tipo pueden seguir perturbándolo durante un gran trecho de su recorrido escolar. Esta idea de cuántas veces cabe será lo que se pretende solucionar con el segundo tipo de actividades de aprendizaje, expuestas en la siguiente sección.

Ahora bien, es frecuente que en el currículo de matemáticas el tema múltiplos-submúltiplos se exponga luego del tema de la operación multiplicación. Eso puede obedecer a que en la matemática escolar es convencional que se parta de las definiciones de los libros de texto, y la definición de múltiplo-submúltiplo lleva implicada la operación de multiplicación.

Según la experiencia de los autores, luego de enseñar durante varios años al grupo de estudiantes del Centro Tutorial, es raro el caso en el que el niño es capaz de aplicar la operación de multiplicación a un grupo de cosas si solo ha aprendido la multiplicación a partir de las tablas

Voces y Silencios: Revista Latinoamericana de Educación, Vol. 2, No. especial, Artículos

de multiplicar —es decir, solo con símbolos numéricos—. Por el contrario, la hipótesis es que si procede a partir del hecho de aprender relacionando cantidades con grupos de cosas, es posible que pueda equilibrar el invariante parte-todo. De esta manera, resulta válido pensar que si las experiencias de aprendizaje a que se ve expuesto el niño no le permiten la oportunidad de relacionar cantidades de cosas agrupadas ordenadamente en una cantidad total o todo, muy probablemente encontrará dificultades en su pensamiento de la multiplicación.

Alguien podría preguntar, o afirmar, que aun sin el primer requerimiento, o sea, la actividad de agrupamientos, el niño podría pensar las relaciones parte-todo (múltiplos-submúltiplos). Nosotros responderíamos que sí. La diferencia es operar con plena conciencia, con un significado más rico y complejo del sentido matemático de lo que se está haciendo, del por qué se procede así.

TERCER ESTADIO: EL SIGNIFICADO DE “VECES”

En general, en la enseñanza de la matemática escolar basada en operaciones de cálculo que se consignan a partir de símbolos no queda lugar para experimentar las operaciones de la aritmética como un hacer, como una acción orientada a transformar cantidades. La perspectiva de la operación como un hacer que un sujeto realiza favorece una manera de proceder que está en la base del quehacer matemático. Históricamente, antes que un saber disciplinar de las matemáticas, fueron las acciones humanas de organizar cantidades y transformarlas (Bell, 2004). La necesidad de proceder paso a paso en toda acción física encaminada a un propósito se organiza en el pensamiento de manera secuencial (Hawkins y Blakeslee, 2005).

Podría asumirse, igualmente, que actuar organizadamente para transformar cantidades en relaciones matemáticas cada vez más complejas se halla en la base del método de razonamiento deductivo que le es propio a la matemática (Bell, 2004). Los autores de este estudio también asumen que este experimentar fáctico-histórico está también en la fundamentación cognitiva del desarrollo del pensamiento matemático infantil (Piaget y García, 1982). De ahí que se haya considerado que el procedimiento de las cuatro operaciones aritméticas con el número natural sea antes vivenciado como un hacer, orientado a un objetivo, casi siempre de cuantificación.

Cuando el niño ingresa a pensar la multiplicación, luego de que ha experimentado y hecho consciente el agrupamiento de cantidades y la relación parte-todo (múltiplo-submúltiplos), será importante que experimente y piense ahora esta misma relación como una sucesión o progresión de veces en que se agrega secuencialmente cada uno de los grupos parte. La perspectiva de asumir la operación de la multiplicación como una acción y experimentación de agregar consecutivamente cantidades iguales de grupos de cosas, a la manera de una progresión o de una cantidad que crece en la medida que se van agregando las cantidades iguales, favorece en el niño la construcción de significado del término veces como una sucesión progresiva.

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CUARTO ESTADIO REQUERIMIENTO: LOS DOS FACTORES COMO RELACIÓN DE CORRESPONDENCIA

En una operación de multiplicación, por ejemplo, ¿por qué sumar grupos de 3 manzanas 5 veces? ¿De dónde surge la decisión de que sea 5 y no 8? Es importante que el niño logre comprender que la realización de una operación de multiplicación se configura en un contexto de vida en el que hay dos cantidades: en este caso, la decisión de agrupar de a 3 manzanas, y otra cantidad que determina cuántas veces tomamos grupos de 3 manzanas, por ejemplo, 5 niños. Este punto es importante, puesto que el 5 no es una cantidad de cosas que está en la cantidad transformada, o sea, multiplicada. En otras palabras, la cantidad transformada son manzanas y ese 5 será una cantidad de referencia, o sea, externa a la cantidad que se va a transformar.