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Esta actividad le permite al usuario graficar hasta tres funciones recursivas a la vez.
En una ecuación recursiva, cada valor un depende del valor inmediatamente anterior un-1. El n es un contador para saber cuál valor sigue después de cuál. Entonces, se dice que el valor inicial es u0, donde n=0. El valor siguiente es u1, el siguiente es u2 y así sucesivamente. Una vez establecido el valor inicial, u0, se hace un determinado cálculo con él para obtener u1. El mismo cálculo se hace con u1 para obtener u2, con este para obtener u3 y así sucesivamente.
Por ejemplo, consideremos la ecuación recursiva un = un-1 + 2 con valor inicial u0 =0. Para encontrar u1 utilizamos la ecuación y hacemos n=1. Entonces u1 = u1-1 + 2 = u0 + 2 = 0 + 2 = 2. Por lo tanto u1 = 2. Para encontrar u2 utilizamos el valor de u1 y encontramos que u2= u1+ 2 = 2 + 2 = 4.
En esta actividad el usuario debe escribir una ecuación recursiva en la que un es igual a algún cálculo con un-1 (por ejemplo, un=un-1+2). El valor inicial u0 también debe estar especificado y ajustado por el usuario según su papel en el gráfico de la ecuación. Esta actividad utiliza las primeras 10 iteraciones de las ecuaciones para calcular los puntos de la gráfica. Estos puntos se conectan y así el estudiante puede identificar la tendencia global de cada gráfica. El usuario puede volver a la gráfica de cada ecuación y ver el valor de cada punto sobre ella,
Cuando pensamos en una ecuación, generalmente pensamos en algo como y=2x. Se da un valor a x y se recibe un valor único de y. En este caso, para obtener un valor no es necesario haber calculado un valor previo. Pero la situación es diferente en las ecuaciones recursivas. Una relación recursiva significa que cada valor de la función está determinando por el valor previo, excepto el valor inicial que debe ser estipulado, para con él determinar el primer valor. A continuación ese primer valor se utiliza en la ecuación para obtener el segundo valor y así sucesivamente.Este proceso se repite hasta llegar al número de iteraciones que hayan sido especificadas.
Por ejemplo, usemos la ecuación recursiva un = un-1 + 2. Debemos especificar también el valor inicial, que tomaremos como u0=0. Comparemos estos resultados con los de la función f(x) = 2x:
u n = u n-1 + 2 | f(x) = 2 * x | |||
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Observe que esta gráfica es semejante a la de la función f(x)=2x. Remplazando a x por valores enteros de 0 a 6 en la función f(x)=2x se obtienen exactamente los valores de la ecuación recursiva un = un-1 + 2. ¿Por qué esto es así? Veamos los valores de la 6a. posición sobre la gráfica. Para la función: f(6)=2x6=12. Recuerde que la ecuación recursiva es
un = un-1 + 2. Entonces u6 = u5 + 2. Pero, ¿cuál es el valor de u5? Sabemos que u5= u4 +2. Por lo tanto u6 = (u4 + 2) + 2. Y u4= u3 + 2. Entonces u6 = ((u3+ 2) + 2) + 2. Pero u3 = u2+2. En consecuencia, u6 = (((u2+ 2) + 2) + 2)+2. Igualmente, u2=u1+ 2 y entonces,
u6 = ((((u1+ 2) + 2) + 2)+2)+2. Finalmente, u1=u0+2=0+2=2. Por lo tanto, podemos calcular el valor u6 = (((((((0 + 2) + 2) + 2)+2)+2)+2) = 12. Estamos sumando 2, seis veces. Esto es lo mismo que 2x6, que es el valor de la función para x= seis veces. Hay pues una relación directa entre la función lineal y la función recursiva.
Es importante entender las ecuaciones recursivas porque se presentan en muchas situaciones de la vida diaria. Muchos de estos casos involucran ecuaciones recursivas más complicadas que la que acabamos de investigar. La función no recursiva no siempre es tan fácil de deducir.
Una ecuación recursiva frecuente es la relativa a interés compuesto. Veamos un ejemplo. Sara coloca inicialmente $1000000 en una cuenta de ahorros que le paga 3% de interés anual. Esto significa que en cada nuevo año debe recibir un 3% adicional a lo que tenía en el año inmediatamente anterior, situación que se puede representar con la fórmula
un = un-1 * (1 + 0.03), con u0= 1000000. El número de iteraciones sería el número de años que tuviera su dinero en esta cuenta de ahorros.
Esta actividad gráfica puede usarse con ejemplos de la vida real tales como interés compuesto y también con toda clase de ecuaciones recursivas. Puesto que la actividad crea una gráfica, el usuario es ahora capaz de comparar las ecuaciones con ecuaciones que le son más familiares. Más aún, podrá conectar las ideas abstractas de recursión con un gráfico visual concreto.
Esta actividad permite graficar funciones recursivas. El estudiante especifica el valor inicial y la función recursiva hasta para tres ecuaciones. Se utilizan las 10 primeras iteraciones de las ecuaciones, para dibujar los resultados como puntos para una gráfica. El usuario puede volver sobre cada ecuación para ver los valores del punto graficado.
Para la página de ecuaciones:
Observe que en toda ecuación recursiva válida, debe usarse la misma letra en la ecuación. Entonces, si en un caso la variable es la letra a, la ecuación debe permanecer consistente, como en el ejemplo siguiente:
El usuario debe ingresar una ecuación en la caja de texto que hay junto a los símbolos u n = . El valor de un depende del último valor de la variable (u n-1 ).
Para la página de gráficas:
Para ver todos los valores de los puntos a la vez, haga click en el botón Mostrar datos. Entonces aparece un gráfico en ventana separada, en la que se listan todos los puntos.
Para navegar sobre la gráfica, utilice las barras deslizadoras que hay debajo y a la izquierda de ella. Haga click en el rectángulo central y arrastre: a izquierda y derecha con la barra horizontal y hacia arriba y abajo con la barra vertical. Observe que ambas barras se mueven y que identifican el punto más cercano a ellas. El valor que aparece en la pantalla corresponde al punto al cual está unida la barra deslizadora en ese momento.
El usuario puede cambiar entre ecuaciones y por lo tanto puede ver sus valores a la vez. Puede hacerlo utilizando el menú desplegable que aparece debajo de la gráfica
Gráfica sin cuadrícula | Gráfica cuadrícula línea clara |
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Hay dos formas de modificar el rango de los ejes.
1. Estableciendo valores exactos para los valores máx y min de los ejes. Puede establecer las fronteras de la gráfica haciendo click en en el botón Preferencias e ingresando los nuevos valores para x max, x min, y max, y min y/o iteraciones. A continuación haga click en el botón Establecer ventana para determinar las fronteras. Para volver a los valores predeterminados, haga click en el botón Valores predeterminados y en botón Establecer ventana, otra vez. Si no quiere cambiar los valores, debe hacer click en Cancelar.
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Esta actividad permite explorar diferentes ecuaciones recursivas. La actividad puede trabajarse en grupos pequeños de 2-3 estudiantes durante unos 40 minutos si se utilizan las preguntantas de exploración y durante unos 20 minutos en caso contrario.
Esta actividad puede usarse para:
Grados 9-12