Ecuaciones de las secciones cónicas

Introducción a la deducción geométrica de las ecuaciones de las secciones cónicas

Álgebra

• Razonamiento con ecuaciones y desigualdades.
  • Comprender la solución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento.
  • Representar y resolver ecuaciones y desigualdades gráficamente.
• Identificar estructuras en las expresiones
  • Escribir expresiones en forma equivalente, para resolver problemas.

Funciones

• Construyendo funciones
  • Construir nuevas funciones a partir de funciones dadas.
• Interpretando funciones
  • Interpretar funciones que resultan en las aplicaciones, según el contexto de las mismas.
  • Analizar funciones, utilizando diferentes interpretaciones.
• Modelos lineales, cuadráticos y exponenciales.
  • Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas de aplicación. 

Geometría

• Círculos
  • Comprender y aplicar teoremas sobre círculos
• Utilizar ecuaciones para expresar propiedades geométricas
  • Pasar de la descripción geométrica a la ecuación correspondiente, para las secciones cónicas.

• Geometría:  Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Identificar círculos, parábolas, hipérbolas y elipses
  • identificar y describir sección transversal
• Álgebra:  Los estudiantes deben ser capaces de:
  • trabajar con gráficas bidimensionales
  • aplicar  las operaciones básicas con ecuaciones 
• Tecnología:  Los estudiantes deben ser capaces de
  • hacer movimientos básicos con el ratón tales como apuntar, hacer click y arrastrar.
  • utilizar un navegador para experimentar con las actividades

• Acceso a un navegador
• Una copia de la hoja de trabajo (taller) para cada estudiante

• Enfoque y repaso

  Recuerde a los estudiantes lo que han aprendido en las lecciones anteriores que sea relevante para lo que deben hacer en esta.

  Pregunte lo siguiente:

  • Cuál es, en cada caso, la definición geométrica de círculo, elipse, hipérbola y parábola.
  • ¿Cómo se relacionan estas definiciones?
  • ¿Existe una manera de convertir estas definiciones geométricas en ecuaciones algebraicas?
• Objetivos

  Informe a los estudiantes qué harán y qué aprenderán hoy. Diga: 

  • Hoy veremos cómo establecer las formas algebraicas de las secciones cónicas a partir de sus definiciones geométricas.
  • Usaremos los computadores para visualizar las secciones cónicas, pero no los prendan ni vayan al sitio web hasta tanto yo no lo diga. Primero quiero mostrarles algo sobre el tema. 
• Aportes del maestro

  Introduzca el tema de deducción de cónicas una discusión 

  Si los estudiantes tienen problemas con el concepto, repase con ellos la fórmula de distancia y las definiciones geométricas de círculo, elipse, parábola e hipérbola.

• Práctica guiada 
  • Muestre la  actividad Trabajando con cónicas en un proyector o video beam para que los estudiantes vean de qué se trata. 
  • Explique cómo al mover los controles deslizantes situados en la parte inferior se altera la forma de la gráfica al cambiar la ecuación.
  • Trabaje con la clase por lo menos un problema como ejemplo:
    • Empiece con una ecuación en la que los valores de h, k y r ya se han definido.
    • Dé valores a x en la ecuación, para calcular los valores de y
    • Grafique los puntos en papel milimetrado y dibuje la sección cónica que los conecta.
    • Grafique la misma sección cónica utilizando el Trabajando con cónicas, para chequear su trabajo. 
• Práctica independiente

  Haga que los estudiantes trabajen en parejas para bosquejar sus predicciones sobre las gráficas de las ecuaciones de la hoja de trabajo (taller) 

  Cuando cada grupo haya completado sus estimaciones, pídales calcular unos pocos puntos de cada gráfica, para chequear su trabajo.

  Cuando cada grupo haya estimado y graficado puntos de todas las gráficas pídales chequear su trabajo usando el Trabajando con cónicas.

• Cierre

  En la clase, discuta los hallazgos de esta lección:

  • Revise las preguntas de la hoja de trabajo o taller y compare resultados.
  • Pregunte a los estudiantes si ya pueden deducir las ecuaciones de las cónicas a partir de sus definiciones geométricas. 
  • Repase el significado y funciones geométricas de  h, k, a, b, y r in las secciones cónicas. 

Si los estudiantes ya están familiarizados con las ecuaciones de las secciones cónicas, esta lección puede reorganizarse así:

• Empiece por despejar y en la ecuación de cada sección cónica.
• Muestre cómo las ecuaciones así resueltas se relacionan con la fórmula de distancia.
• Discuta cómo la interpretación geométrica de cada sección cónica es equivalente a la interpretación algebraica.

Los estudiantes que comprender las deducciones algebraica y geométrica de las secciones cónicas pueden explorar otras clases de secciones transversales en el Folleto de secciones transversales