Introducción a las funciones

Las actividades y las discusiones de esta lección consultan los siguientes estándares del CNMM:

Álgebra 
Entender patrones, relaciones y funciones.

• Representar, analizar, y generalizar una variedad de patrones con tablas, gráficos, palabras y, cuando sea posible,  con reglas simbólicas.
• Relacionar y comparar diferentes formas de representación de una relación.  
• Identificar funciones como lineales o no lineales y contrastar sus propiedades mediante tablas, gráficos o ecuaciones.

Representar y analizar situaciones matemáticas y estructuras,  mediante símbolos algebraicos.

• Desarrollar una  comprensión conceptual  sobre  diferentes usos de variables.
• Explorar  relaciones entre expresiones simbólicas y gráficos de rectas, prestando particular atención a los significados de intercepto y pendiente.
• Usar álgebra simbólica  para representar situaciones y para resolver problemas, en especial los que involucran relaciones lineales.
• Reconocer y generar formas equivalentes de expresiones algebraicas sencillas y resolver ecuaciones lineales.

Usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.

• Desarrollar y resolver modelos para problemas, usando varias representaciones, como gráficos, tablas y ecuaciones.

Analizar el cambio en varios contextos.

• Usar  gráficos para analizar la naturaleza de los cambios en cantidades relacionadas linealmente. 

• Aritmética: Los estudiantes requieren ser capaces de:
  • Trabajar con  aritmética de enteros y fracciones.
• Tecnológica: Los estudiantes requieren ser capaces de:

• • Hacer con el ratón del computador  operaciones básicas tales como señalar, hacer clic y arrastrar
  • Utilizar navegadores, como Netscape  por ejemplo,  para experimentar con las actividades.

Los estudiantes requieren:

• Acceso a un navegador.
• Lápiz y papel.
• Copias del material suplementario para las actividades:
  • Hoja de trabajo para La máquina de funciones

• función
• entrada
• función lineal
• resultado

Énfasis y revisión

Repase con los estudiantes lo pertinente para este caso, aprendido en lecciones anteriores, y/o haga que los estudiantes comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección.

Objetivos

Indique a los estudiantes qué van a hacer y a aprender en la clase de hoy.  Dígales algo como:

• Hoy hablaremos de funciones y sus representaciones.
• Usaremos computadores para aprender sobre funciones y sus representaciones, pero  no prendan lo prendan, ni pasen a esta página,  hasta que yo lo indique.  Primero quiero mostrarles algo sobre esta actividad.

Aportes del maestro

• Presente  la idea de funciones como máquinas, conduciendo una discusión de la clase sobre funciones. 

Práctica guiada

• Haga que los estudiantes construyan máquinas para que las revisen conjuntamente.  Comience con máquinas de operación sencilla y sugiérales que construyan tablas para los pares de datos de entrada/resultado. Indíqueles que para evitar confusiones, los matemáticos siempre enuncian primero la entrada en un par ordenado,  encerrado en paréntesis,  y separado por comas:

                                           ( x , y ) 
Entrégueles una o dos tablas con algunos resultados para que las completen.  Pídales que describan en palabras lo que hace la función.  Por ejemplo:

• Después de practicar con la descripción de funciones, explíqueles la convención de asignar una letra (usualmente x, pero no siempre) para representar la entrada y otra  (usualmente y, pero no siempre) para representar el resultado. Solicíteles que escriban las funciones anteriores como reglas de álgebra,  usando esta convención.

Formalice  la terminología:
Variable: 
             Una letra que representa un número desconocido o que se puede cambiar.
Variable independiente: 
            El dato de entrada en una función,  frecuentemente  representado por x.
Variable dependiente: 
            El resultado de una función,  frecuentemente  representado por y.
Función: 
            Un proceso que toma dos o más números como entrada y da como resultado un solo número.

Práctica independiente

• Permita a los estudiantes practicar sus nuevas habilidades en la construcción de funciones y en el  reconocimiento de patrones con el Juego de la máquina de funciones. Asegúrese que registren cuántos números tuvieron que ver antes de poder deducir correctamente la estructura de la función.  Pídales que escriban, en tres formas diferentes,  las funciones con las que trabajaron,  así:
  • Con frases.
  • Con una tabla de valores.
  • Con reglas algebraicas.
• Pídales que piensen en situaciones de su vida  que podrían estar regidas por algunas de estas funciones.   Por ejemplo: y = x + 1 podría ser la función para describir el volverse un año más viejo en su cumpleaños.  y = 2 * x podría ser la función para expresar “todo sabe el doble de rico en las vacaciones”.  

Cierre

• Es aconsejable reunir nuevamente la clase para discutir los resultados.  Una vez que los estudiantes hayan compartido sus experiencias,  resuma los resultados de la lección.

Esta lección se puede reordenar de varias maneras:

• Haga un concurso  de “identifique la función”, en donde grupos de estudiantes compitan para descifrar la función.  Las siguientes pueden ser algunas de las reglas básicas del concurso:

• • Entregue dos pares de entradas y resultados a ambos equipos – se recomienda 2 estudiantes por equipo.
  • Solicite que  cada equipo indique  cuántos pares de números  adicionales cree que  necesita para  “identificar la función”.   El equipo que diga un número menor, sale de primero.
  • Si un equipo da el resultado equivocado, el otro equipo tiene el turno, luego de ver un par adicional.  Los equipos se alternarán  hasta que alguno dé el resultado correcto.

Este juego se puede jugar en unos 10 minutos,  por cada par  de equipos.  Si toda la clase lo va a jugar,  puede ser un poco demorado. 

• Introduzca funciones no lineales permitiendo usar exponenciales (números enteros para empezar), y división por x. 

Después de estas discusiones y actividades, los estudiantes tendrán un conocimiento intuitivo de las funciones,  y habrán visto muchos ejemplos de funciones lineales.   La siguiente lección, Funciones más complicadas,  los enfrentará  a funciones lineales más generales.