Patrones en el Triángulo de Pascal

Las actividades y las discusiones de esta lección consultan los siguientes Estándares del CNMM :

Números y Operaciones

Entender los números, formas de representarlos, relaciones entre ellos, y sistemas de números.

• Adquirir práctica con fracciones, decimales y porcentajes para resolver problemas.
• Entender y usar razones y proporciones para representar relaciones cuantitativas.
• Utilizar factores, múltiplos, factorización en primos y números primos relativos para resolver problemas.

Álgebra

Entender patrones, relaciones y funciones

• Representar, analizar y generalizar diversos patrones con tablas, gráficos, palabras y, cuando sea posible, con reglas simbólicas.
• Relacionar y comparar las diferentes formas de representar una relación.

Usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.

• Modelar y resolver problemas de contexto usando diferentes formas de representación como gráficos, tablas y ecuaciones

• Aritmética: Los estudiantes requieren ser capaces de:
  • Trabajar la aritmética de enteros y fracciones
• Tecnología: Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Manejar el ratón del computador en operaciones básicas tales como señalar, hacer clic y arrastrar.
  • Utilizar navegadores, como Netscape por ejemplo, para experimentar con las actividades.

Los estudiantes necesitarán:

• Acceso a un navegador
• Lápiz y papel
• Copias del material suplementario para las actividades:
  • Hoja de trabajo para acompañar "Patrones en el triángulo de Pascal"

• combinaciones
• fractales
• múltiplos

Énfasis y revisión

Repase con los estudiantes lo aprendido en lecciones anteriores que es pertinente para este caso, y haga que los estudiantes comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección:

• Pregunte a los estudiantes qué es un múltiplo y pídales un ejemplo. Pida a un estudiante que comparta su ejemplo con la clase.
• Invite a los estudiantes a pensar en el Triángulo de Pascal . Si la clase no lo ha estudiado anteriormente, pregunte "¿Alguien ha oído del triangulo de Pascal?" Si la clase ya lo ha estudiado, haga que uno de los estudiantes le recuerde a la clase cómo es el triangulo de Pascal.
• Pregunte a los estudiantes "¿Sabían ustedes que los múltiplos conforman un patrón en el triangulo de Pascal?"

Objetivos

Cuente a los estudiantes qué van a hacer y a aprender en la clase de hoy. Dígales algo como:

• Hoy hablaremos de los patrones que los múltiplos crean en el triángulo de Pascal.
• Usaremos computadores para aprender sobre patrones, pero no prendan el computador ni pasen a esta página hasta que yo lo indique. Primero quiero mostrarles algo sobre esta actividad.

Aportes del maestro

Explique a los estudiantes cómo hacer la tarea. Muéstreles cómo desarrollarla, especialmente si no están familiarizados con el uso de los "simulacións"

• Es posible que deba coordinar una discusión sobre el Triángulo de Pascal

Asegúrese de que los estudiantes saben cómo hacer un triángulo de Pascal utilizando papel y lápiz o dibujándolo en el tablero o utilizando el proyector de imágenes y dejando que ellos le indiquen qué se debe escribir.

• Abra su navegador (pero no deje a los estudiantes abrir el de ellos todavía) en Colorear múltiplos en el triángulo de Pascal para enseñarles esta actividad. Pregúnteles si el triángulo que dibujaron se parece al de la pantalla.
• Es posible que deba ayudar a los estudiantes para identificar los múltiplos más grandes: 56, 84, 120, 220, 252, 364, 792, 924, 1716, 3432. Anímelos a buscar patrones y a adivinar razonadamente los múltiplos grandes de 4. Pregunte "¿Pueden adivinar, con base en el patrón de formación, cuáles son los múltiplos grandes, sin usar calculadora?". El resultado final lucirá así:
• Pida a los estudiantes que identifiquen los múltiplos de 4 que ven en el triángulo. Probablemente mencionarán números como: 4, 8, 12, 20, 28 y 36. Haga clic sobre cada número para resaltarlos a medida que los estudiantes los mencionen.
• Ahora debe usted explicar el "simulación" a los estudiantes. Esto se puede hacer presentando un número: 4 es un buen número para escoger en esta presentación.
• Pídale a un estudiante que describa el patrón que ve después de que todos los múltiplos han sido hallados. Pregunte a los estudiantes qué tipo de figuras forman los múltiplos dentro del triángulo de Pascal.
• Distribuya la Hoja de trabajo para acompañar "Patrones en el triángulo de Pascal". Haga que los estudiantes dibujen el patrón que la clase ha determinado para múltiplos de 4 en el triángulo de Pascal.

Práctica guiada

Ensaye con otro ejemplo, dejándose guiar por los estudiantes. O simplemente pregunte "¿Puede alguien describir los pasos necesarios para desarrollar esta tarea?"

• Si la clase parece entender el proceso para hacer esta tarea, pregunte simplemente "¿ Puede alguien decirme qué pasos se necesitan para llenar el resto de la tabla?" o pregunte "¿Cómo manejo este "simulación?"
• Si la clase tiene dificultades con este proceso, desarrolle otro ejemplo en conjunto, pero deje que los estudiantes dirijan sus acciones:
  • Esta vez, escoja el número 8 para hacer el ejemplo. Deje que los estudiantes le indiquen los múltiplos de 8 que ven en el triángulo.
  • Estos múltiplos de 8 incluyen, 8, 56, 120, 792, y 3432. Pídales que comparen este patrón con el que se formó con los múltiplos de 4. Asegúrese de enfatizar que aunque los múltiplos de 8 son también múltiplos de 4, sus patrones son bastante diferentes (esto se debe a que no todos los múltiplos de 4, lo son de 8)

Práctica independiente

Deje que los estudiantes trabajen individualmente para completar la tarea, pero permanezca en la clase para ofrecer la ayuda que fuese necesaria. Asegúrese que los estudiantes están en el sitio correcto de la Web.

Los estudiantes pueden necesitar ayuda para encontrar los múltiplos de números más difíciles, como el 7. Anime a los estudiantes para que ellos desarrollen sus propios métodos para encontrar múltiplos. ¡Sugiérales que utilicen el conocimiento ya adquirido en la identificación de patrones fáciles, para desarrollar los más difíciles!

Cierre

Es importante cerciorarse de que todos los estudiantes han progresado en la comprensión de los conceptos presentados en la lección. Usted puede hacer esta revisión de varias maneras:

• Verifique las hojas de trabajo de los estudiantes o de los grupos y evalúelas.
• Haga que los estudiantes escriban un párrafo corto para explicar el tipo de patrones que vieron, incluyendo las similitudes entre las diferentes imágenes, y el tipo de formas que fueron recurrentes en dichas imágenes.
• Reúna la clase y haga que diferentes grupos o estudiantes compartan los resultados obtenidos con un número específico, con el resto de la clase. Permita que los estudiantes que no terminaron con ese número esbocen los resultados obtenidos para asegurarse de que no les faltará información necesaria para entender por completo el problema.

Esta lección se puede reorganizar de varias maneras:

• Los estudiantes pueden querer responder la hoja de trabajo en grupos.
• Usted puede asignar números individuales a diferentes grupos, para asegurarse que las discusiones posteriores serán fructíferas.

• Como ampliación, obtenga de los estudiantes una predicción sobre el patrón para un número en particular, cuando el triángulo sea más grande. La clase puede trabajar agrandándolo a mano (probablemente en el tablero) para ver si las predicciones fueron correctas. Nuevamente, 4 puede ser un número adecuado para trabajar en esta ampliación.
• Desarrolle un lección similar para discutir los patrones formados en Colorear residuos en el Triángulo de Pascal. Esta actividad puede ser más difícil para los estudiantes, y puede requerir de mayor ayuda, así es de que es aconsejable desarrollarla como una discusión y demostración con toda la clase.