Estudiante: ¡Los problemas como el de Monty Hall y el acertijo de “Las tres cajas” se inventaron como para crisparle a uno los nervios! ¡Uno cree que las respuestas son obvias, pero los experimentos dan números diferentes!

Maestro: En el juego de “Las tres cajas” cada caja contiene dos fichas. La primera tiene dos fichas rojas, la segunda dos verdes y la tercera una roja y una verde. No sabemos cuál caja contiene cuáles fichas. Sacamos una ficha sin mirar dentro de la caja y nos sale una ficha verde. ¿Cuáles son las posibilidades, teóricamente hablando, de que la segunda ficha también sea verde?

Estudiante 1: Solamente hay una caja de las tres que tiene dos fichas verdes, entonces la probabilidad debería ser 1/3.

Estudiante 2: Sabemos que la primera ficha era verde. Esta posibilidad ocurre únicamente con dos cajas. Una de ellas tiene dos fichas verdes, luego la probabilidad es de 1/2.

Estudiante 3: Esperen, hemos jugado el juego muchas veces en el computador.  La probabilidad experimental se estaba acercando más y más a 2/3.

Estudiante 4: Tiene sentido: hay tres situaciones en las que la  primera ficha es verde: puede ser una de las dos fichas de la caja que contiene dos fichas verdes,  o la ficha verde de la caja que contiene una roja y una verde. En dos de estas situaciones la segunda ficha en la caja es también verde, así que tenemos dos posibilidades de tres de ganar.

Maestro: ¿Qué pasa con el problema de Monty Hall? El juego simula un programa de televisión muy conocido en Estados Unidos que se llama Monty Hall.  A un jugador se le da la alternativa de escoger una entre tres puertas cerradas. Detrás de una de ellas está el Premio mayor (un carro y un crucero); detrás de las otras dos puertas hay premios tontos (cerdos). El jugador escoge una puerta y el presentador del programa observa qué hay detrás de las puertas, y abre una de las otras puertas. Detrás de ésta hay un cerdo. El presentador le ofrece al jugador quedarse con la puerta que escogió inicialmente o cambiarse a la otra puerta que está cerrada. ¿Qué estrategia (cambiarse o permanecer) le da una mejor oportunidad de ganar en el largo plazo?  

Estudiante 1: Todas las puertas son iguales, entonces cuando solamente quedan dos puertas, una de ellas  con un premio, las posibilidades de ganar son iguales: 1/2.

Estudiante 2: La probabilidad de que haya un premio detrás de una de las tres puertas es 1/3, entonces no importa si se mantiene en su escogencia o si cambia: las posibilidades de ganar serán de 1/3.

Estudiante 3: Pero los experimentos dan una probabilidad de ganar de 1/3 al quedarse con la puerta escogida,  y de 2/3 al cambiar de puerta. Tiene sentido: cuando al principio se escoge una puerta, la probabilidad de ganar es de 1/3, y la probabilidad de que el premio este detrás de una de las otras dos puertas  es de 2/3. Cuando Monty abre una de las otras puertas, la probabilidad de 2/3 “se concentra” en la segunda puerta que permanece cerrada.

Maestro: Siempre que sea posible es bueno revisar su teoría con experimentos. Afortunadamente esto se puede hacer fácilmente con la mayoría de los problemas de probabilidad, utilizando computadores.