¡Incendio!, probabilidad y caos

Las actividades y discusiones en esta lección corresponden a los siguientes estándares del CNMM:

Números y operaciones
Entender los números, la forma de representar los números, las relaciones entre los números, y los sistemas de números.

• Trabajar en forma flexible con fracciones, decimales y porcentajes para resolver problemas.

Álgebra 
Entender  patrones, relaciones y funciones.

• Representar, analizar y generalizar una variedad de patrones  con tablas, gráficos, palabras y, cuando sea posible, con reglas simbólicas.

Usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.

Análisis de datos y probabilidad
Hacer preguntas que se puedan formular con datos y, recolectar, organizar y presentar datos relevantes para responderlas.  

• Hacer preguntas, diseñar estudios y recolectar datos sobre una  característica compartida por dos poblaciones o diferentes características dentro de una sola población.

Seleccionar  y usar métodos estadísticos apropiados para analizar datos.

• Encontrar, usar e interpretar medidas de centro y dispersión, incluyendo promedio y rango intercuartílico.

Desarrollar y evaluar inferencias y predicciones que estén basadas en datos

• Utilizar observaciones sobre diferencias entre dos o más muestras para hacer conjeturas acerca de las poblaciones de donde fueron obtenidas dichas muestras.
• Hacer conjeturas sobre posibles relaciones entre dos características de una muestra, sobre la base de gráficos de dispersión de  datos, y posibles rectas que se ajusten.
• Usar conjeturas para formular nuevas preguntas y planear nuevos estudios para responderlas.

Entender y aplicar  conceptos básicos de probabilidad.

• Usar proporcionalidad y una comprensión básica de probabilidad para hacer y probar conjeturas  sobre  los  resultados de experimentos y simulaciones.

• Aritmética: Los estudiantes deberán ser capaces de:

  • Calcular promedios

  • Graficar pares ordenados

• Tecnológicos: Los estudiantes deberán ser capaces de:

• • Hacer con el ratón del computador operaciones básicas tales como señalar, hacer clic y arrastrar

  • Utilizar navegadores,  como Netscape por ejemplo,  para experimentar con las actividades

Los estudiantes requieren:

• Acceso a un navegador

• Papel para graficar

• probabilidad
• caos
• promedio
• gráfico de recta

1. Énfasis y revisión  
Repase con los estudiantes lo pertinente para este caso, aprendido en lecciones anteriores, y/o haga que    los estudiantes comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección.

• Si yo lanzo este dado, cuál es la probabilidad de que salga:

  1. ¿Un número par?

  2. ¿El número dos?

  3. ¿El número siete?

  4. ¿Un número menor a siete?

2. Objetivos 
 Indique a los estudiantes qué van a hacer y a aprender en la clase de hoy.  Dígales algo como:

• Hoy vamos a usar un computador para simular  un incendio en un bosque. Por favor no enciendan su computador hasta que yo así lo solicite, porque primero vamos a desarrollar la simulación manualmente.

3. Aportes del maestro

• Presente la actividad ¡Incendio! en una pantalla ubicada en un lugar alto para mostrar a la clase cómo funciona.
• Pregunte a los estudiantes si ellos piensan que la probabilidad fijada será  siempre igual al porcentaje total del área quemada, como sucedió en  el caso con 0% y 100%.
• Este es un buen momento para  repasar la conversión de fracciones, decimales y porcentajes.
• Siempre inicie el fuego con el árbol de la mitad para así poder controlar el experimento. Si lo estima conveniente, discuta sobre la importancia de usar controles en los experimentos.
• Fije la probabilidad en 0% y pida a los estudiantes que predigan  qué porcentaje del bosque se quemará. Repita esta demostración varias veces para  mostrarles si sus hipótesis eran correctas o no. Repita el ejercicio con una probabilidad del 100%.
• Explíqueles cómo al fijar la probabilidad se  determina qué árboles se van a incendiar. Si un árbol está prendido, la probabilidad es la que determinará cuáles de sus cuatro vecinos se prenderá también.

4.  Práctica guiada

• Agrupe a los estudiantes en parejas  y dé a cada pareja un dado y un papel cuadriculado. Pídales que tracen dos cuadrículas de 5 x 5 y que marquen con una X en el cuadro del centro.
• Dígale a los estudiantes que ellos harán en el papel una simulación similar a la que les mostró en el computador.  Sin embargo, esta vez ellos  van a usar una cuadrícula de 5 x 5 (en vez de una de 17 x 17)  y una probabilidad del 50%.
• Demuéstreles en el tablero cómo debería funcionar la simulación en el papel al trazar una cuadrícula de 5 x 5 con una X en el centro.  Es posible que usted quiera discutir cómo podría utilizar el dado para simular una probabilidad de incendio del 50%.  
• Coloque un punto en el cuadrado encima de la X, para indicar que en este cuadrado usted está verificando si se incendia o no.   Lance el dado para ver si se incendia. En caso afirmativo, márquelo con una X, y en caso negativo, borre el punto. Repita la operación con otros cuadrados al lado de la X.Trabaje el ejemplo en toda la cuadrícula hasta estar seguro que todos los estudiantes entienden cómo funciona la simulación.
• Calcule el porcentaje quemado del bosque.
• Asegúrese de mencionarle a los estudiantes que en la prueba  solamente deben comprobar los árboles que se queman arriba, abajo, a la izquierda y a la derecha.

5. Práctica independiente

• Haga que cada pareja de estudiantes complete sus dos cuadrículas propias.

 6. Práctica guiada

• Cuando los estudiantes hayan terminado, registre los resultados de cada ensayo en el tablero.
• Discuta con los estudiantes cómo hacer un gráfico más preciso.  Ellos deberían llegar a la conclusión que sería más exacto ensayando varios puntos de datos, para diferentes probabilidades de incendio, en intervalos aproximadamente iguales.  
• Comience un nuevo gráfico de la recta en el plano de coordenadas, escribiendo nuevo gráfico debajo del último par ordenado.  Calcule el promedio para los 10 puntos de datos y grafique (promedio 0.5)
• Discuta con los estudiantes cómo podrían utilizar todos esos puntos variables de datos para determinar un  punto para trazar el gráfico de la recta.  Los estudiantes deberían concluir que el promedio aritmético sería una buena solución.
• Pruebe unas 10 veces con el 50% de probabilidad de incendio de la actividad del computador ¡Incendio!, y registre los resultados.  Debe haber variación en estos datos.  Registre cada resultado en el tablero.  
• Discuta si ellos creen que este modelo predice con precisión el bosque incendiado, para diferentes probabilidades fijadas.  Basándose en los datos recolectados en la cuadrícula de 5 x 5, los estudiantes deberían llegar a la conclusión de que esto no es así. 
• Discuta con los estudiantes este gráfico como un modelo de los datos  del incendio en el bosque.
• Abra otra ventana para ver la actividad El gráfico sencillo. Diga a los estudiantes que quiere graficar los datos recolectados, para ver si se puede identificar un patrón.  El eje x debería representar la probabilidad de incendio, y el eje y el porcentaje total de bosque quemado.  Grafique el primer par de puntos: (0,0) y (1,100) del modelo del computador “Incendio”.  Asegúrese de seleccionar el tipo de gráfico Conectado.
• Pase ahora a hacer  este ejercicio con la simulación por computador.
• Pida que los estudiantes revisen sus respuestas para ver si la probabilidad fijada para el incendio es igual al porcentaje total  del bosque quemado. (Puede suceder en algunos casos, pero seguramente no será así en la mayoría)  

     7.  Práctica independiente

• Asigne a cada pareja de estudiantes una probabilidad para que sea verificada. Cada pareja  debe desarrollar la prueba 10 veces  y debe determinar el promedio del porcentaje total del bosque incendiado y su probabilidad  asignada.  

      8. Cierre

• Reúna los promedios de todos los estudiantes y escríbalos en el tablero. Cuídese de anotar qué promedio corresponde  a qué probabilidad.
• Hay varios  puntos que usted puede resaltar del  experimento:
• Usando el mismo gráfico anterior, nuevamente escriba todos los datos recolectados y grafíquelos como pares ordenados en la forma (probabilidad, promedio total del bosque quemado).  La curva resultante posiblemente tendrá una forma como de S.
• Los científicos usan modelos de computador para ayudarles a encontrar patrones que de otra forma serían difíciles de identificar. Este modelo muestra que al usar probabilidades entre 0 y alrededor de 35% el fuego se extingue por si solo. Entre 35-60% el fuego es caótico e impredecible con una variación significativa en cada una de esas probabilidades.  Por encima del 60% el fuego normalmente consume la totalidad del bosque.
• Discuta cómo este modelo se puede relacionar con un incendio forestal en la vida real. ¿Cuáles son las similitudes y cuáles las diferencias? ¿Qué hace que una probabilidad alta/baja de incendio se relacione con un verdadero incendio?

Esta lección se puede replantear de diferentes maneras:

• Permita que los estudiantes dibujen un gráfico como una hipótesis para predecir el comportamiento del sistema en general.

• Para una lección más avanzada, deje que los estudiantes estudien la varianza en cada una de las probabilidades de ensayo. ¿Qué probabilidad tiene la mayor varianza? Para probabilidades con varianzas altas, ¿es el promedio una buena representación de los datos? Ayude a los estudiantes a expresar estos valores altamente variables como datos inciertos: i.e. 40% +/- 30%.

• ¿Cómo cambia el gráfico si el punto en que se inicia el incendio cambia?  

• Use las actividades ¡Incendio dirigible! y/o Un mejor incendio para compararlas con el modelo  ¡Incendio! y para que desarrolle ejemplos similares y compare los resultados.