Probabilidad y geometría

Las actividades y discusiones en esta lección corresponden a los siguientes estándares del CNMM:

Análisis de datos  y probabilidad
Entender y aplicar  conceptos básicos de probabilidad.

• Entender y utilizar terminología apropiada para describir eventos complementarios y mutuamente excluyentes.

• Emplear la proporcionalidad y un conocimiento básico de probabilidad para hacer y probar predicciones sobre los  resultados de experimentos y simulaciones.

• Calcular probabilidades para eventos simples compuestos,  usando métodos como listados organizados, diagramas de árbol y modelos de área.

Geometría 
Analizar características y propiedades de figuras geométricas de dos y tres dimensiones  y desarrollar argumentos matemáticos sobre relaciones geométricas.

• Entender relaciones entre ángulos, longitud de los lados, perímetros, áreas y volúmenes de objetos similares.

Usar visualización, razonamiento espacial y modelos geométricos para resolver problemas.

• Dibujar objetos geométricos con propiedades especificadas, tales como el largo de los lados o las medidas de los ángulos.
• Usar herramientas visuales como redes para representar y resolver problemas.

• Aritmética: Los estudiantes deberán ser capaces de:

  • Usar sumas, restas, multiplicación y división para resolver problemas de probabilidad

  • Trabajar con fracciones para resolver problemas de probabilidad

• Tecnológicas: Los estudiantes deberán ser capaces de:

  • Hacer con el ratón del computador operaciones básicas tales como señalar, hacer clic y arrastrar

  • Utilizar navegadores,  como Netscape por ejemplo,  para experimentar con las actividades

Los estudiantes requieren:

• Acceso a un navegador

• Lápiz y papel

• Hoja de trabajo para La ruleta

• Si lo desea, use la discusión sobre Poliedros haciendo que los estudiantes utilicen lo siguiente:

1. Figuras de triángulos equiláteros, cuadrados y pentágonos rectangulares hechas de cartón o plástico para trazarlas en hojas de papel. Si  tiene disponibles figuras ya cortadas  de papel, como por ejemplo 30-40 triángulos, 10-15 cuadrados, y 15-20 pentágonos, entonces no necesitará  tijeras ni figuras de cartón o plástico.

2. Tijeras para cortar papel

3. Cinta pegante para armar los poliedros

• El juego La ruleta y el Juego de la ruleta ajustable requieren tener acceso a unos computadores o unos materiales para construir ruletas  para cada grupo de estudiantes

• Como la discusión sobre Ángulos y valor esperado: De la geometría a la probabilidad se refiere a transportadores para medir ángulos, entonces cada grupo de tener su propio transportador.

• estimativo
• probabilidad experimental
• probabilidad
• generador de números aleatorios
• probabilidad teórica

1. Énfasis y revisión 

Repase con los estudiantes lo pertinente para este caso, aprendido en lecciones anteriores, y/o haga que    los estudiantes comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección.

• ¿Quién ha visto alguna vez el  juego de la rueda de la fortuna?

• ¿Han notado que el espacio para el premio de $10.000 es bastante más pequeño que los otros espacios?

• ¿Ustedes creen  que el tamaño del espacio afecta o no afecta que la rueda se detenga en ese espacio? 

2. Objetivos

Indique a los estudiantes qué van a hacer y a aprender en la clase de hoy.  Dígales algo como:

• Hoy vamos a empezar a aprender sobre  probabilidad.

• Para esto usaremos computadores, pero no los prendan hasta que yo lo indique.  Primero quiero mostrarles algo sobre esta actividad.

3. Aportes del maestro

• La discusión sobre Probabilidad y geometría muestra que algunas veces se necesita el conocimiento de geometría para responder preguntas de probabilidad.

4.  Práctica guiada

• Haga que los estudiantes trabajen con el Juego de La ruleta y el Juego de La ruleta ajustable para demostrar conceptos de probabilidad utilizando ruletas.

Cada estudiante, o grupo de estudiantes, puede construir una ruleta o usar el software para construir una “ruleta virtual.” Haciendo muchos experimentos con ruletas, los estudiantes pueden determinar, en forma experimental, las posibilidades de que salga cada color, y comparar estas posibilidades.
Si los estudiantes usan ruletas físicas, tendrán que escribir los resultados a mano y para esto pueden usar La tabla  Experimentos con ruletas.

• Cuando los grupos de estudiantes utilizan el Juego de la ruleta o El juego ajustable de la ruleta, bien sea en el computador o con la ruleta física, ellos pueden discutir cómo encontrar la probabilidad exacta de seleccionar cada sector de la ruleta, y luego comparar sus resultados con los datos experimentales del Juego de la ruleta. Las siguientes preguntas pueden ayudarles:

  1. ¿Qué características (como por ejemplo, el tamaño, el color de las secciones, etc.) influyen en el cálculo de la probabilidad, y cuáles no tienen ningún efecto?

  2. ¿Cómo podemos decidir cuál de las dos secciones tiene una mayor probabilidad de salir? ¿Podemos responder esta pregunta sin cortar la ruleta  y superponer las secciones?

• La discusión sobre  Poliedros conecta la probabilidad y la geometría construyendo dados con varios lados.  

5. Práctica independiente

• Ayude a los estudiantes a construir sus propios dados. Tranquilamente podemos llamar dado a un objeto tridimensional que al lanzarlo pueda caer en diferentes posiciones sobre una superficie plana. La mayoría de las personas están familiarizadas con el dado de seis lados. Las siguientes actividades y preguntas pueden ser de interés para los estudiantes, o los grupos de estudiantes:

1. Desarrolle una manera de construir un “dado” que tenga tantos lados como uiera, comenzando por 3: 3, 4, 5, 100…Sugerencia: un lápiz.

2. Usando las siguientes reglas, ensaye a construir varios dados:

• • Puede usar polígonos de un solo tipo: triángulos equiláteros, o cuadrados o pentágonos regulares.

  • Cada vértice del dado tiene el mismo números de lados conectados a el. En la práctica, usted  puede comenzar creando un vértice de varios polígonos. Su número  será dictado por la geometría (3, 4 o 5 para los triángulos, 3 para los cuadrados, 3 para los pentágonos) Luego adicione el mismo número de lados a los vértices restantes, terminando  el poliedro. 

Los dados construidos de esta forma se denominan sólidos platónicos.

1. ¿Puede usted construir un dado del tipo sólido platónico partiendo de un hexágono regular?  ¿Por qué si o por qué no? Ensaye a hacerlo.

6. Cierre

• Es aconsejable reunir nuevamente la clase para discutir los resultados.  Una vez que los estudiantes hayan compartido sus experiencias, resuma los resultados de la lección. 

Esta lección se puede replantear de varias maneras:

• Haga que los estudiantes construyan ruletas de diferentes materiales y que luego  comparen los resultados obtenidos. ¿Qué materiales o diseños producen ruletas que arrojan verdaderos resultados “aleatorios”?  Compare los resultados de muchos lanzamientos de estas ruletas con los resultados generados por el computador con elJuego de La ruleta y el Juego de La ruleta ajustable, para mostrarle a los estudiantes la ventaja de usar un modelo de computador para producir resultados más precisos.

• Use La aguja de Buffon como un ejemplo adicional de la conexión entre  probabilidad y  geometría.

• Pida a algunos grupos de estudiantes que lean las dos discusiones de esta lección y que preparen presentaciones sobre estas para sus compañeros de clase.

Después de estas discusiones y actividades, los estudiantes tendrán una mayor compresión sobre cómo la geometría se puede utilizar para resolver problemas de probabilidad.  La siguiente lección, Probabilidad condicional y probabilidad de eventos simultáneos, permite consideraciones más profundas sobre matemáticas relacionadas y otorga nuevas herramientas para la resolución de problemas, mas explícitamente ideas y formulas relacionadas con probabilidad condicional y probabilidad de eventos simultáneos.