De la probabilidad a la combinatoria y a la teoría de los números

Las actividades y discusiones en esta lección corresponden a los siguientes estándares del CNMM:

Álgebra

Utilizar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas

• Hacer modelos y resolver problemas contextualizados usando varias representaciones, como gráficos, tablas y ecuaciones

Análisis de datos  y probabilidad

Entender y aplicar  conceptos básicos de probabilidad

• Entender y utilizar terminología apropiada para describir eventos complementarios y mutuamente excluyentes.

• Emplear la proporcionalidad y un conocimiento básico de probabilidad para hacer y probar predicciones sobre los  resultados de experimentos y simulaciones.

• Calcular probabilidades para eventos simples compuestos,  usando métodos como listados organizados, diagramas de árbol y modelos de área.

• Aritmética: Los estudiantes deberán ser capaces de:

  • Usar la división para calcular resultados en problemas de probabilidad

  • Usar la multiplicación al trabajar con estructuras de datos

• Tecnológicos: Los estudiantes deberán ser capaces de:

  • Hacer con el ratón del computador operaciones básicas tales como señalar, hacer clic y arrastrar

  • Utilizar navegadores,  como Netscape por ejemplo,  para experimentar con las actividades

Los estudiantes necesitarán:

• Acceso a un navegador

• Lápiz y papel

• Para la actividad Juego de carreras con dos dados, cada grupo de estudiantes necesitará: 

1. Dos dados

2. Fichas, o piezas pequeñas de juego, de diferentes colores

3. Pista del Juego de carreras

4. Tabla de registro del Juego de carreras

5. Hoja de trabajo del Juego de carreras

• combinatorias
• probabilidad experimental
• probabilidad
• superíndice
• probabilidad teórica

1. Énfasis y revisión 

Repase con los estudiantes lo pertinente para este caso, aprendido en lecciones anteriores, y/o haga que    los estudiantes comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección.

2. Objetivos

Indique a los estudiantes qué van a hacer y a aprender en la clase de hoy.  Dígales algo como:

• Hoy vamos a aprender cómo usar la división para resolver problemas de probabilidad.

• Para esto usaremos computadores, pero no los prendan hasta que yo lo indique.  Primero quiero mostrarles algo sobre esta actividad.

3. Aportes del maestro

• Explique a los estudiantes El juego de carreras con dos dados, que introducirá el concepto de estructura de datos y el cálculo de algunas probabilidades.

4. Práctica guiada

• Haga que los estudiantes experimenten con El juego de carreras con dos dados.  Varios estudiantes deben “correr hasta llegar a la meta”, utilizando el software o papel.  Para todas las vueltas, cada jugador juega una o dos etapas, dependiendo del resultado del lanzamiento de los dos dados.

Cada grupo puede determinar cómo escoger en forma aleatoria qué jugadores avanzan uno o dos pasos. 

• Dirija una discusión basándose en las Tablas y combinatorias, y hábleles sobre tablas y estructuras de datos.

• Discuta sobre la Divisibilidad y la forma en que puede utilizarse en probabilidad.  La discusión está basada en la actividad Dos dados y una mesa.

• Dirija la discusión sobre El árbol como una estructura de datos

Esta discusión presenta y desarrolla la idea de árboles como estructuras de datos, y está basada en todas las otras partes de la lección.  Planéela como una discusión “viva o animada”, para que los estudiantes tengan la oportunidad de hacer sus propias preguntas, ya que este tema suele ser de interés para muchas personas y puede conducir a varias investigaciones en matemáticas y en ciencia de la computación.

5. Práctica independiente

• Haga que los estudiantes trabajen individualmente, o en grupos pequeños, para que jueguen con la actividadDos dados y una mesa, para que investiguen las tablas como estructuras de datos, y para que utilicen las tablas para contar resultados y calcular probabilidades. 

 6. Cierre

• Es aconsejable reunir nuevamente la clase para discutir los resultados.  Una vez que los estudiantes hayan compartido sus experiencias, resuma los resultados de la lección.

Esta lección se puede replantear de varias maneras:

• Utilice el texto de la discusión Tablas y combinatorias para preparar la clase para una “animada” discusión, que se lleve a cabo mientras los estudiantes están utilizando la actividad Dos dados y una mesa.

• Haga que los estudiantes lean, en forma individual, la discusión sobre Divisibilidad, o utilice el texto para prepararlos para una discusión “animada”.  

Después de estas discusiones y actividades, los estudiantes habrán visto cómo estructuras de datos tales como tablas y árboles se pueden utilizar para resolver problemas de probabilidad.  La siguiente lección, Valor esperado, presenta y desarrolla la idea de valor esperado.  La discusión ayuda a los estudiantes a investigar la definición y la fórmula de valor esperado.