Probabilidad condicional y probabilidad de eventos simultáneos

Las actividades y discusiones en esta lección corresponden a los siguientes estándares del CNMM:

Análisis de datos  y probabilidad
Entender y aplicar  conceptos básicos de probabilidad.

• Entender y utilizar terminología apropiada para describir eventos complementarios y mutuamente excluyentes.

• Emplear la proporcionalidad y un conocimiento básico de probabilidad para hacer y probar predicciones sobre los  resultados de experimentos y simulaciones.

• Calcular probabilidades para eventos simples compuestos,  usando métodos como listados organizados, diagramas de árbol y modelos de área.

• Aritmética: Los estudiantes deberán ser capaces de:

  • Usar sumas, restas, multiplicación y división para resolver problemas de probabilidad

  • Entender cómo se pueden utilizar las tablas en multiplicación

• Tecnológicas: Los estudiantes deberán ser capaces de:

  • Hacer con el ratón del computador operaciones básicas tales como señalar, hacer clic y arrastrar

  • Utilizar navegadores,  como Netscape por ejemplo,  para experimentar con las actividades

Todas las actividades de esta lección se desarrollan mejor utilizando el software,  ya que permite a los estudiantes individualmente, o en grupos, disponer de suficiente tiempo para explorar los juegos y encontrar respuestas a las preguntas pertinentes. Si las actividades tienen que desarrollarse físicamente, los siguientes materiales son necesarios (un juego de materiales para cada grupo de trabajo):

• Acceso a un navegador
• Lápiz y papel
• Copias de los siguientes materiales suplementarios:

• • Hoja de trabajo para El juego de las carreras
  • Hoja de trabajo para  Dos colores
  • Hoja de trabajo para  Monty Hall
• Para El juego de las carreras con un dado:

• • Un dado de seis lados
  • La tabla del Juego de carreras para registrar los resultados

• Para El juego de Dos colores

• • 3 recipientes  idénticos, como por ejemplo cajas pequeñas o copas opacas.
  • Seis objetos de colores diferentes (tres de cada color), tales como canicas o fichas de póquer. Los objetos deben caber en los recipientes y no se deben poder distinguir unos de otros al tacto.
  • La tabla para la actividad Dos colores, para anotar los resultados.

• Para la actividad de Monty Hall

• • Tres tarjetas para índices idénticas
  • La tabla para registrar resultados

• probabilidad experimental
• probabilidad
• generador de números aleatorios
• probabilidad teórica

1. Énfasis y revisión 

Repase con los estudiantes lo pertinente para este caso, aprendido en lecciones anteriores, y/o haga que    los estudiantes comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección.

• Si los dos jugamos algo, y yo le apuesto a que yo le podría ganar siempre,   ¿me creería?

• Este es un juego de carreras en donde cada uno de nosotros tiene un turno para lanzar un dado de seis lados y avanzar en los  números que cada uno tiene asignado. Yo le apuesto que a cada uno se le puede asignar la misma cantidad de números para avanzar, y que no importa cuántas veces juguemos, yo siempre ganaré.

• Dígales que los números que usted se asigna  son  1, 2, 3, 4, 5, y 6, y que el que le acepte la apuesta tendrá los números 7, 8, 9, 10, 11, y 12.  (Si está jugando con un dado, entonces es imposible sacar un número mayor a 6, por lo tanto con los números del 6 al 12 nunca avanzará.)

• ¿Quién cree que este juego es justo?

2. Objetivos

Indique a los estudiantes qué van a hacer y a aprender en la clase de hoy.  Dígales algo como:

• Hoy vamos a empezar a aprender sobre probabilidad.

• Para esto usaremos computadores, pero no los prendan hasta que yo lo indique.  Primero quiero mostrarles algo sobre esta actividad.

3. Aportes del maestro

• Comience por describir la actividad El juego de carreras con un dado, que muestra experimentalmente cómo el número de etapas afecta la probabilidad de ganar.

4.  Práctica guiada

• Haga que grupos de estudiantes jueguen con la actividad El juego de carreras con un dado,  preferiblemente usando el software o lanzando un dado de seis lados y usando La tabla para registrar los resultados.

Los jugadores deben tener diferentes oportunidades de avanzar una etapa.  Al saber la probabilidad  de que cada jugador ejecute un movimiento, los estudiantes deben tratar de  calcular la probabilidad de que el jugador gane el juego. Ensaye con muchos experimentos para probar la predicción.

• Conduzca una discusión sobre  La probabilidad de eventos simultáneos  para presentar la fórmula para calcular la probabilidad de eventos simultáneos independientes.

Esta discusión está basada en los resultados del Juego de carreras con un dado. Cada grupo de estudiantes puede pensar y discutir las siguientes preguntas, para luego discutirlas con otros grupos y con el maestro:

1. La probabilidad experimental de ganar el juego no es la misma que la probabilidad de ejecutar una etapa. ¿Por qué?

2. ¿Qué pasaría con las probabilidades si hubiera más de dos etapas para llegar a la meta?

   • Luego inicie una discusión basado en La probabilidad condicional.

Esta discusión requiere la participación activa del maestro. Si algunos estudiantes quieren ejercer el rol de maestros, ellos pueden leerse la discusión con anticipación para prepararse.  De esta manera las discusiones se pueden realizar en grupos más pequeños.

5. Práctica independiente

• Permita que los estudiantes usen el juego “Dos colores” para hacer experimentos que demostrarán la probabilidad condicional.

Se tienen tres cajas tapadas. Una contiene dos canicas verdes, otra dos canicas rojas y la tercera una verde y una roja. Si los estudiantes usan el software, el computador mezclará las cajas. Si los estudiantes lo van a hacer manualmente, uno de ellos deberá mezclar las cajas. Un estudiante escoge una caja y saca de ella una canica (sin mirar). Si la primera canica es roja, el juego se empieza otra vez. Si la primera es verde, el estudiante tiene derecho a sacar la otra canica y si ésta es también verde, entonces el estudiante gana. 

Grupos de estudiantes pueden jugar este  juego muchas veces, tratando primero  de predecir, o adivinar,  las posibilidades de ganar, y registrando los resultados en La tabla.

6. Cierre

• Es aconsejable reunir nuevamente la clase para discutir los resultados.  Una vez que los estudiantes hayan compartido sus experiencias, resuma los resultados de la lección.

Esta lección se puede replantear de varias maneras:

• Incluya el problema de Monty Hall para clarificar aun más el tema de probabilidad condicional. Cada estudiante, o grupo de estudiantes, puede tratar de resolver este problema y explicar la solución. Luego pueden correr los experimentos en computadores, o manualmente (en este caso registrando la información en La tabla) comparando la información experimental con sus soluciones. Grupos de estudiantes pueden discutir por qué sus respuestas teóricas sí concuerdan, o no, con los datos.

• Use la discusión ¡Piense y revise! para ayudar a los estudiantes a entender la explicación de los problemas de Monty Hall y el Juego de dos colores.

• Combine esta lección con la lección  de Respuestas inesperadas.

• O escoja menos actividades para desarrollar; por ejemplo use solamente El juego de carreras con un dado y la discusión de Probabilidad condicional, enfocándose únicamente en la probabilidad condicional. Use la discusiónProbabilidad de eventos simultáneos en otra etapa de la unidad de Probabilidad.

• Permita a los estudiantes desarrollar su propia versión del juego Dos colores y presente su juego y resultados de probabilidad a la clase.  

Después de estas discusiones y actividades, los estudiantes habrán trabajado con probabilidad condicional y habrán visto la formula para la probabilidad de eventos simultáneos. La siguiente lección, De la probabilidad a las combinatorias y a la teoría de los números, está dedicada a las estructuras de datos y a sus aplicaciones a la teoría de la probabilidad. Se presentan  tablas y  árboles, y se discuten algunas de sus propiedades.