Estudiante: Me dijeron que para entender fractales se necesita conocer números complejos. ¿Qué son?

Maestro: La idea de números complejos tardó muchos años en ser aceptada. En matemáticas existe una regla que consiste en que solo se puede sacar la raíz cuadrada de números positivos.  Pero resulta que también existen muchos números negativos.

Estudiante: ¿Entonces los números complejos tienen que ver con la raíz cuadrada de números negativos?

Maestro: Exactamente. Lo más fácil es pensar en los números complejos  como pares ordenados. ¿Recuerda cómo graficar pares ordenados? Tomamos el primer número como el movimiento horizontal, y el segundo número como el movimiento vertical.

Estudiante: Sí,  lo sé. Por ejemplo  si graficamos (1,3) tendríamos:

Maestro: ¡Muy bien! Para ver y entender fractales necesitamos poder manejar funciones de estos pares de números. Estas funciones se pueden describir como “máquinas”.  Recuerde que si colocamos un número en una “máquina” de función, ésta nos devolverá otro número.  En esta oportunidad, ingresamos un par ordenado y obtenemos otro par ordenado.

Se definen las Operaciones Básicas de suma, resta, multiplicación y división para esta nueva situación, así:   

Los matemáticos se refieren al conjunto de todos los pares ordenados de los números reales y de estas operaciones, como el espacio vector de 2-vectores o R2. Los espacios de los vectores son estructuras importantes en el estudio del álgebra lineal.

Note que la multiplicación y la división de pares no están en esta lista. No se definen como “componentes-autónomos”,  como los mostrados arriba.

Estas definiciones de las operaciones básicas pueden parecer raras,  pero tienen mucho sentido en la geometría de triángulos, como  verá luego en cálculo. Para los fractales que estudiaremos  aquí, solo necesitamos saber cómo elevar un par al cuadrado, que es lo mismo que multiplicar el par por si mismo. ¿Puede darme una regla para elevar al cuadrado?

Estudiante: Veamos, queremos  multiplicar  (a,b)*(a,b),  usando la regla de la tabla:

Maestro: ¡Muy bien!  ¿La puede arreglar un poco? aa = a^2, y los otros términos se pueden rehacer.

Estudiante: ¿Cómo,  así?

Maestro: Sí, muy bien. Ensayemos con algunas funciones sencillas. Primero,  para que sea más fácil escribirlas, usaremos  Z para representar un par (a,b). En la siguiente lista de funciones trate de colocar los pares ordenados (0,0) y (1,-1) en ellas.

1. f(Z) = Z^2

2. f(Z) = Z + (0,1.5)

3. f(Z) = Z^2 + (2,1)

Estudiante: Entonces:

1. f(0,0) = (0,0)^2 = (0^2 - 0^2, 2*0*0) = (0,0) 
   f(1,-1) = (1,-1)^2 = (1^2 - (-1)^2, 2*1*(-1)) = (0,-2)

2. f(0,0) = (0,0) + (0,1.5) = (0+0, 0+1.5) = (0,1.5) 
   f(1,-1) = (1,-1) + (0, 1.5) = (1+0, -1+1.5) = (1,0.5)

3. f(0,0) = (0,0)^2 + (2,1) = (0,0) + (2,1) = (2,1) 
   f(1,-1) = (1,-1)^2 + (2,1) = (0,-2) + (2,1) = (2,-1)

Maestro: Esas están  bien.  Ahora ya sabe lo básico  para usar funciones complejas o de dos variables.

Estudiante: Un momento: ¿Cómo así que funciones complejas? Aquí no veo nada sobre raíz cuadrada o números negativos.

Maestro: Comencemos con algo de historia. Siglos después de que el álgebra fuese inventada, los matemáticos pensaban que una ecuación del tipo X^2 + 1 = 0 no tenía solución. Finalmente, cuando uno eleva un número al cuadrado, se obtiene un número positivo.  ¿Cómo podría sumar un número positivo a otro positivo, como 1, y obtener 0?

En el siglo XVI,  Girolamo Cardano,  un matemático italiano que trabajó mucho con ecuaciones cúbicas, llamó a la solución de esa ecuación “la raíz cuadrada de -1”, y luego dijo que éste era simplemente  un símbolo para representar  una cantidad inútil. En ese mismo periodo, Rafael Bombelli, quien también estudiaba ecuaciones cúbicas, inventó las operaciones que vimos anteriormente para números complejos. En el siglo XVII, René Descartes, un matemático francés también interesado en ecuaciones,  denominó la raíz cuadrada de -1 como un número imaginario.

Casi un siglo después, Leonhard Euler comenzó a usar el símbolo  i, y los números complejos se escribían comúnmente como:

a + b i.

donde a y b eran números reales, y  a se llamaba la parte real, en tanto que b la parte imaginaria. Al final del siglo XVIII, Jean-Robert Argand popularizó la idea de que los números complejos a + b i se podían escribir y graficar como pares ordenados, en la forma descrita anteriormente. Desde entonces, se han descubierto una gran cantidad de usos.  Hoy en día, todos los ingenieros y físicos necesitan tener un sólido entendimiento de los números complejos para realizar su trabajo.

Estudiante: Entonces, ¿los puedo escribir  como a + b i, o  como (a,b)?

Maestro: ¡Correcto! Miremos las operaciones otra vez. ¿Las puede entender mejor ahora?

Estudiante: En el primer caso sí, pero ¿qué pasa cuando elevo al cuadrado?

Maestro: Piense en como tendría que multiplicar:

(a + b i) * (a + b i)

La propiedad distributiva dice que esto es igual a:

(a + b i) * a + (a + b i) * b i

Entonces tenemos que distribuirlo nuevamente:

a*a + a*b i + a*b i + b i * b i

Si recordamos que i * i es -1, ¡entonces lo podemos simplificar!

a^2 + 2ab i + b^2 (-1) = a^2 - b^2 + 2ab i

Estudiante: Que es lo mismo que (a^2 - b^2, 2ab) en la forma de pares.

Maestro: ¡Veo que lo entendió perfectamente!