Aritmética modular y criptografía

Las actividades y las discusiones de esta lección consultan los siguientes Estándares del CNMM:

Operaciones Numéricas

• Entender los números, maneras de representarlos, relaciones entre números y sistemas de números.
• Usar factores, múltiplos, factorización en números primos, y números primos relativos, para resolver problemas.

• Aritmética: Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Trabajar aritmética de racionales y enteros, incluyendo inversos multiplicativos
• Álgebra : Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Trabajar con expresiones algebraicas simples
• Tecnológica: Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Hacer con el ratón del computador operaciones básicas tales como señalar, hacer clic y arrastrar
  • Utilizar navegadores, como Netscape por ejemplo, para experimentar con las actividades

Los estudiantes necesitarán:

• Acceso a un navegador
• Lápiz y papel
• Copias del material suplementario para las actividades:

• • Preguntas de exploración sobre aritmética modular
  • Preguntas de exploración sobre el cifrado de César
  • Preguntas de exploración sobre el cifrado de César II
  • Preguntas de exploración sobre el cifrado de César III

• aritmética modular
• codificación
• codificación afín
• factores
• múltiplos
• residuos

Énfasis y revisión

Repase con los estudiantes lo aprendido en lecciones anteriores que es pertinente para este caso, y haga que los estudiantes comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección:

• Pregunte a los estudiantes qué son múltiplos. Si es necesario use la Discusión sobre múltiplos .
• Después, pregunte qué son residuos. La Discusión sobre residuos está disponible si requiere de ayuda.

Objetivos

Cuente a los estudiantes qué verán y aprenderán hoy. Dígales algo como:

• Hoy hablaremos de la aritmética del reloj - también llamada aritmética modular -- y criptografía -- que es un método para crear mensajes secretos. Sus conocimientos de múltiplos y residuos le serán útiles cuando codifiquen o decodifiquen mensajes.
• Usaremos computadores para aprender sobre aritmética modular y criptografía, pero no prendan el computador ni pasen a esta página hasta que yo lo indique. Primero quiero mostrarles algo relacionado con estas ideas.

Aportes del maestro

Decida si coordina una breve discusión sobre la relación entre aritmética modular y los relojes.

Explique a los estudiantes cómo hacer la tarea. Muéstreles cómo desarrollarla, especialmente si no están familiarizados con el uso de los "simulacións".

• Abra su navegador en la actividad del Reloj para mostrarla a los estudiantes.
• Muéstreles cómo cambiar los números en el reloj.
• Entrégueles las Preguntas de exploración sobre aritmética modular.
• Haga que los estudiantes completen la hoja de trabajo mientras usted les muestra cómo funciona la aritmética modular.

Después, presente a los estudiantes la noción de criptografía mediante una discusión sobre cifradores de desplazamiento simple y afín.

• Abra su navegador en la actividad El cifrado de César y preséntela a los estudiantes.
• Intente codificar una frase con los estudiantes, algo como "otra vez en la pelea" y luego revísela con El cifrado de César .
• Entregue la hoja de trabajo Preguntas de exploración sobre el cifrado de César
• Dé a los estudiantes otra frase para codificar "Si nada se arriesga, nada se gana" o "Lléveme al juego del fútbol"
• Haga que los estudiantes intercambien sus códigos y los valores para A y B para que practiquen así la solución de problemas.

Práctica guiada

Facilite a los estudiantes una práctica adicional, esta vez con la actividad de El cifrado de César II . Esta es una excelente manera de ejercitar las facultades de raciocinio de los estudiantes ya que hay formas sencillas de jugar (presente frases) y formas sistemáticas (presente unas pocas letras)

• Entrégueles la hoja de trabajo sobre Preguntas de exploración sobre el cifrado de César II , y trabaje con ellos para encontrar el código.

Práctica independiente

Como actividad final, haga que los estudiantes compitan en equipos usando la actividad de El cifrado de César III . A los estudiantes se les debe decir que todas las frases vienen de cuentos, canciones y versos infantiles. Gana el primer equipo que descifre su frase, encontrando correctamente la constante y el multiplicador.

• Entregue la hoja de trabajo Preguntas de exploración sobre el cifrado de César III , y divida la clase en equipos para trabajar en los códigos.

Cierre

Es importante volver a reunir la clase para hacer una discusión de repaso y resumen.

Esta lección se puede reorganizar de varias maneras si solo hay un computador disponible.

• Luego de presentar la información en las discusiones, haga que los estudiantes se turnen individualmente o en grupos para practicar la decodificación criptográfica.

Esta es una excelente lección para practicar aritmética básica en una forma novedosa. Otra lección que puede usarse de esta manera es:

• Patrones en el triángulo de Pascal .