Introducción al concepto de probabilidad

Las actividades y discusiones en esta lección corresponden a los siguientes estándares del CNMM:

Análisis de datos  y probabilidad
Entender y aplicar  conceptos básicos de probabilidad.

• Entender y utilizar terminología apropiada para describir eventos complementarios y mutuamente excluyentes.

• Emplear la proporcionalidad y un conocimiento básico de probabilidad para hacer y probar predicciones sobre los  resultados de experimentos y simulaciones.

• Calcular probabilidades para eventos simples compuestos,  usando métodos como listados organizados, diagramas de árbol y modelos de área.

• Aritmética: Los estudiantes deberán ser capaces de:

  • Usar sumas, restas, multiplicación y división para resolver conjuntos de problemas

  • Calcular la probabilidad experimental cuando se le dé la fórmula

  • Mantener registros sencillos de datos

• Tecnológica: Los estudiantes deberán ser capaces de:

  • Hacer con el ratón del computador operaciones básicas tales como señalar, hacer clic y arrastrar

  • Utilizar navegadores,  como Netscape por ejemplo,  para experimentar con las actividades

Los estudiantes requieren:

• Acceso a un navegador

• Lápiz y papel

• Hoja de trabajo El juego de las alternativas locas

• Para la simulación del Juego de las alternativas locas, si se usan diferentes generadores de números aleatorios se necesitarán:

  • dados con diferentes números de lados

  • ruletas

  • bolsas con fichas numeradas de lotería, bolas de diferentes colores, fichas o canicas de varios colores

  • monedas

• Puede imprimir La tabla de registro del Juego de las alternativas locas para dársela a cada estudiante, o grupo de estudiantes, para que anoten los datos de su Juego de las alternativas locas. 

• La discusión sobre  Eventos y operaciones de conjuntos se puede ilustrar mejor con diagramas de colores. Si da a los estudiantes bolígrafos, lápices o creyones, entre 3 y 5 colores diferentes (un juego para cada estudiante y para cada grupo que esté trabajando independientemente), esto les ayudará a visualizar las ideas y a hacer más divertido el proceso de resolución de problemas. 

• probabilidad experimental
• resultados
• probabilidad
• probabilidad teórica

1. Énfasis y revisión 

Repase con los estudiantes lo pertinente para este caso, aprendido en lecciones anteriores, y/o haga que  los estudiantes comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección.

• Cuando han hecho algún experimento en ciencias, ¿les ha sucedido que  esperaban un resultado específico y terminan obteniendo otro totalmente distinto?

2. Objetivos

Indique a los estudiantes qué van a hacer y a aprender en la clase de hoy.  Dígales algo como:

• Hoy vamos a empezar a aprender sobre  probabilidad.

• Para esto usaremos computadores, pero no los prendan hasta que yo lo indique.  Primero quiero mostrarles algo sobre esta actividad.

3. Aportes del maestro

• En las ciencias hay que repetir los experimentos una y otra vez para asegurarse que se tienen los resultados correctos. En las matemáticas uno tiene que repetir las cosas una y otra vez para asegurarse que los resultados  de sus experimentos se acercan lo más posible a los resultados teóricos. Los resultados reales de sus experimentos se llaman estadísticas, mientras que la posibilidad de que se obtenga, o no,  un determinado resultado, tiene que ver con la probabilidad.
• Dirija una discusión sobre Resultados y probabilidad, basándose en El juego de las alternativas locas, para presentar las ideas de “resultado” y “probabilidad”.
• Dirija una discusión sobre Estadística versus  probabilidad.

4.  Práctica guiada

• Pídale a los estudiantes que jueguen el Juego de las alternativas locas para mostrarles cómo se pueden comparar las probabilidades en forma experimental, y para ayudarles a entender el concepto de  probabilidad. 

• Los estudiantes pueden jugar el juego en grupos (entre 2 y 10 personas por grupo) utilizando computador(es), o diferentes elementos generadores de números aleatorios (dados, ruletas, etc.) El software lleva las estadísticas necesarias:

  1. número de juegos jugados

  2. número de veces que ganó cada jugador

  3. probabilidad experimental de ganar

• Si los estudiantes desarrollan el juego en forma manual, es conveniente suministrarle a cada grupo copia deLa tabla de registro para el juego de las alternativas locas para que anoten en ella los datos. Los estudiantes deberían jugar muchos partidos (50-100) si quieren obtener estadísticas confiables. El propósito del juego es determinar qué jugador tiene mayores probabilidades de ganar al utilizar los diferentes medios. Por ejemplo, para comparar las posibilidades del jugador que lanza una moneda (gana en 1 de 2 posibles resultados) y las posibilidades del jugador que lanza un dado de seis lados  (gana si saca 1 o 2, o  2 de 6  posibles resultados).

• La ventaja del software es que  puede simular muchos juegos en una  sola corrida. Esto ahorra tiempo, además de que ayuda a los estudiantes a ver cómo la probabilidad experimental se acerca más y más a la probabilidad teórica (Ley de los  números grandes).

• Los estudiantes pueden tratar de responder las siguientes preguntas en forma individual, en grupos, o en discusiones con el maestro. Cada grupo de estudiantes puede responder todas las preguntas, para luego compartir las respuestas en discusiones con otros grupos y así lograr mejorar las definiciones y el conocimiento en esta área.

  1. En el Juego de las alternativas locas cada jugador ganó un cierto número de veces, en un determinado número de  juegos realizados. ¿Cómo podemos definir un resultado?

  2. Si el número total de posibles aciertos es el mismo para todos los jugadores, entonces es fácil comparar sus posibilidades. Por ejemplo, el jugador que tiene cuatro números ganadores en un dado de seis lados, ganará con el doble de frecuencia que el jugador que solo tiene dos números ganadores asignados. ¿Cómo comparamos las posibilidades de los jugadores  si el número total de aciertos es diferente? ¿Podemos hacerlo con experimentos? ¿Podemos predecir los resultados del experimento, así sea en forma aproximada?

  3. ¿Qué pasa con las probabilidades experimentales a medida que recolectamos más y más información de resultados del mismo juego?

• A continuación inicie una discusión sobre Eventos y operaciones de conjuntos.

5. Práctica independiente

• Las discusiones sobre conjuntos funcionan mejor cuando están basadas en problemas y cuando los estudiantes puedan trabajar manualmente con algún material.  Los estudiantes pueden trabajar en grupos de 2 a 4 personas,  en donde cada grupo discutirá algunos problemas y tratará de responder a las siguientes preguntas, durante el ejercicio. Cada grupo puede utilizar un ejemplo de Ejemplos de problemas  sobre operaciones de conjuntos, y luego presentar   sus propios ejemplos de problemas similares.

• Si cada conjunto describe un evento, ¿qué eventos son descritos por la unión y la intersección?

• ¿Qué es la intersección de conjuntos?

• ¿Qué es la unión de conjuntos? ¿Puede determinar cuántos elementos están en la unión, si sabe cuántos hay en cada conjunto? ¿Qué más necesita saber para poder responder esa pregunta?

• Los estudiantes se confundirán menos si resuelven uno o dos  problemas antes de responder las preguntas. Pueden comenzar respondiendo las preguntas sobre los problemas que ellos resolvieron, y luego tratar de generalizar la respuesta. Una vez que cada grupo haya trabajado por un tiempo en las preguntas (con la ayuda del maestro si es necesario), todos los estudiantes pueden compartir y discutir sus respuestas a las preguntas.  

6. Cierre

• Es aconsejable reunir nuevamente la clase para discutir los resultados.  Una vez que los estudiantes hayan compartido sus experiencias, resuma los resultados de la lección.

Esta lección se puede replantear de varias maneras:

• Combine esta lección con la de Ideas que conducen a la probabilidad  para que los estudiantes entiendan los conceptos de azar y juego justo, así como también los conceptos presentados en esta lección.

• Haga que los estudiantes jueguen primero El juego de las alternativas locas usando generadores de números aleatorios y registrando los resultados en La tabla de registro para El juego de las alternativas locas, y luego muéstreles la velocidad con la que el computador corre estos experimentos.  Muéstreles cómo en la medida en que el experimento se corre más y más veces, los resultados se aproximan más a la probabilidad teórica.  

• Pida a los estudiantes que usen lápices o marcadores de colores para ilustrar las soluciones de Problemas de ejemplo sobre Operaciones de conjuntos.

• Si no lo ha hecho anteriormente, utilice la discusión de Probabilidades vs. estadísticas para mostrar las diferencias entre estos dos conceptos.

Después de estas discusiones y actividades, los estudiantes tendrán un mejor conocimiento sobre probabilidad, resultados y operaciones de conjuntos. Si los estudiantes aún no han trabajado con Respuestas inesperadas, pídales que continúen con sus exploraciones de probabilidad y que observen algunos ejemplos poco usuales de juegos de probabilidad. Enseguida, continúe con Probabilidad y geometría, que muestra la sutil diferencia entre definir la probabilidad contado resultados o midiendo las proporciones de las características geométricas.