Fractales y el juego del caos

Las actividades y las discusiones de esta lección siguen los estándares CNMM:

Números y Operaciones

Entender los números, formas de representarlos, relaciones entre ellos, y sistemas numéricos.

• Utilizar representación en fracciones, decimales o porcentajes, para resolver problemas.

Álgebra

Entender patrones, relaciones y funciones.

• Representar, analizar y generalizar una variedad de patrones con tablas, gráficos, palabras y, cuando es posible, con reglas simbólicas.
• Relacionar y comparar diferentes formas de representación de una relación.

Usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.

• Crear y resolver modelos para problemas contextualizados, usando para ello diferentes representaciones, como gráficos, tablas y ecuaciones.

Geometría

Usar visualización, razonamiento espacial y modelos geométricos para resolver problemas.

• Dibujar objetos geométricos con propiedades especificadas, tales como longitud de los lados o medidas de los ángulos.
• Usar modelos geométricos para representar y explicar relaciones numéricas y algebraicas.
• Reconocer y aplicar ideas y relaciones geométricas en contextos diferentes a los del salón de clase de matemáticas, como el arte, la ciencia y la vida diaria.

• Geometría: Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Reconocer y dibujar objetos como rectas, rectángulos, triángulos y cuadrados.
• Aritmética : Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Manejar fracciones en sumas y multiplicaciones.
• Tecnológica: Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Hacer con el ratón del computador operaciones básicas como señalar, hacer clic y arrastrar.
  • Utilizar navegadores, Netscape por ejemplo, para experimentar con las actividades.

Los estudiantes necesitarán:

• Acceso a un navegador.
• Lápiz, regla, un dado de 6 carasy papel para gráficos.
• Copias de materiales suplementarios para las actividades:
  • Hoja de trabajo para El juego del caos
  • Transparencia de El juego del caos

Esta lección se debe iniciar con los estudiantes trabajando individualmente, con papel y lápiz. Destine unos 10 o 15 minutos para que exploren individualmente. Después, déjelos que, individualmente o en grupos pequeños, exploren la actividad en el computador. Calcule una hora de trabajo para el conjunto completo de las actividades en el computador, y deje un tiempo adicional para su discusión.

1. Énfasis y revisión

Repase con los estudiantes lo aprendido en lecciones anteriores y que sea pertinente para este caso, y póngalos a pensar en las palabras e ideas de esta lección:

• ¿Quién recuerda lo que es un fractal?
• ¿Quién puede explicar lo que es un patrón, o modelo?
• ¿Quién puede explicar lo que significa “aleatorio”?
• ¿Alguien piensa que un proceso aparentemente aleatorio puede generar un patrón?

2. Objetivos

Cuente a los estudiantes qué harán y qué aprenderán hoy. Dígales algo como:

• Hoy aprenderemos cómo un proceso aparentemente aleatorio puede generara un patrón conocido.
• Usaremos computadores para aprender sobre patrones, pero por favor no enciendan el computador ni pasen a la página correspondiente hasta cuando yo lo indique. Antes quiero mostrarles algo relacionado con esta actividad.

3. Aportes del maestro

• Antes de decir algo, dibuje en el tablero tres puntos grandes que representen los vértices de un triángulo equilátero. Llámelos A, B y C. Explique a la clase que usted va a iniciar la actividad escogiendo al azar un punto en el tablero. Dibuje el punto y después, uno por uno, pida a cada estudiante que escoja un punto entre A, B o C. Entonces, dibuje un punto pequeño a mitad de camino entre el último punto dibujado y el vértice escogido por el estudiante.
• Cuando todos los estudiantes hayan elegido un vértice, pregúnteles si alguno logra reconocer un patrón (Probablemente la respuesta sea negativa)
• Pregúnteles qué piensan que pasará si el proceso continúa por un tiempo largo.
• Explíqueles que lo que están haciendo es precisamente lo que hace el Juego del caos.

4. Práctica guiada

• Haga que los estudiantes ensayen la versión básica (con el triángulo) del “simulación” El juego del caos , colocando 20 puntos por vez durante tantas iteraciones como sean necesarias, hasta que reconozcan que se ha formado el Triángulo de Sierpinski
• Oriente una discusión sobre probabilidad básica que prepare a los estudiantes para la práctica independiente.

5. Práctica independiente

• Pida a los estudiantes que, utilizando el “simulación” del Juego del caos , ensayen cambiando las probabilidades para varias de las figuras iniciales, haciendo y verificando suposiciones sobre las figuras finales.
• Solicite a los estudiantes que escriban a qué valores piensan cambiar la probabilidad, qué resultados esperan y qué resultados obtienen.
• Si lo desea, entregue la hoja de trabajo de este “simulación” y haga que los estudiantes la completen.

6. Cierre

• Reúna la clase para discutir los resultados. Una vez que los estudiantes hayan compartido sus experiencias, haga un resumen de la lección.

Esta lección se puede reorganizar de varias maneras:

• Combine la versión del triángulo de esta actividad con la lección Fractales geométricos, para presentar una introducción sencilla al triángulo de Sierpinski y a los fractales.
• Combine la versión del triángulo de esta actividad con las lecciones Fractales geométricos y El triángulo de Pascal, para presentar una introducción clara al triángulo de Sierpinski examinando tres formas diferentes de generar esta figura.
• Si está conectado a Internet, use la versión actualizada del Generador de juntas de Sierpinski (o, en inglés,Sierpinski gasket maker) , para ver generalizaciones de las figuras de Sierpinski, en las que el usuario puede especificar la probabilidad de un movimiento y una rotación.

Después de estas discusiones y actividades, los estudiantes notarán que el tapete y el triángulo de Sierpinski explorados en la lección Fractales geométricos también aparecen en el juego del caos. La siguiente lección, Propiedades de los fractales , es fundamental y está diseñada para resumir y afianzar la noción de fractal, ahora que los estudiantes han visto varios de ellos. Una alternativa de avance es la lección El triángulo de Pascal , en la cual el nuevamente aparece el triángulo de Sierpinski de una fuente diferente (en este caso, del triángulo de Pascal )