Geometría de los fractales

Las actividades y las discusiones de esta lección siguen los estándares del CNMM :

Álgebra

Entender patrones, relaciones y funciones.

• Representar, analizar y generalizar diferentes patrones con tablas, gráficos, palabras y, cuando es posible, con reglas simbólicas.
• Relacionar y comparar diferentes formas de representación de una relación.

Utilizar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.

• Modelar y resolver problemas contextualizados, usando diferentes representaciones como gráficos, tablas y ecuaciones.

Geometría

Aplicar transformaciones y usar simetría para analizar situaciones matemáticas.

• Describir tamaños, posiciones y orientaciones de figuras a las que se han aplicado transformaciones no formales como: saltos, giros, deslizamientos y alargamientos o acortamientos.
• Examinar congruencia, semejanza y simetría lineal o rotacional de objetos que se transforman.

Usar visualización, razonamiento espacial y modelos geométricos para resolver problemas.

• Dibujar objetos geométricos con propiedades especificadas, tales como longitud de los lados o las medidas de los ángulos.
• Usar modelos geométricos para representar y explicar relaciones numéricas y algebraicas.
• Reconocer y aplicar ideas y relaciones geométricas en áreas distintas a las matemáticas, como el arte, la ciencia y la vida diaria.

• Geometría: Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Reconocer y dibujar objetos como rectas, rectángulos, triángulos y cuadrados.
  • Entender los conceptos de área y perímetro y usar las fórmulas correspondientes.
• Aritmética : Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Construir fracciones a partir de relaciones entre tamaños.
  • Manipular fracciones en sumas y multiplicaciones.
• Tecnológica: Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Hacer con el ratón del computador operaciones básicas como señalar, hacer clic y arrastrar.
  • Utilizar navegadores, Netscape por ejemplo, para trabajar con las actividades.

Los estudiantes necesitarán:

• Acceso a un navegador.
• Lápiz y papel de gráficos.
• Copias de materiales suplementarios para las actividades:
  • Hoja de trabajo para El triángulo de Sierpinski
  • Hoja de trabajo para El tapete de Sierpinski

• generador
• infinito
• iniciador

• iteración
• recursión
• auto-similaridad

Estas actividades se trabajan mejor en grupos de 2 o 3 personas. El tiempo necesario para que los estudiantes descubran los patrones se puede reducir si se hacen una o dos iteraciones de cada curva con toda la clase antes de que los grupos trabajen individualmente. Presupueste unos 15 a 20 minutos para cada exploración. La discusión siguiente requiere que el estudiante haya trabajado con las actividades de la lección Infinito, auto-similaridad y recursión .

1. Énfasis y revisión

Repase con los estudiantes lo aprendido en lecciones anteriores y que sea pertinente para este caso, y haga que ellos comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección:

• ¿Alguien recuerda lo que significa infinito?
• ¿Alguien puede explicar lo que es una iteración?
• ¿Quién de ustedes sabe qué es auto-similaridad?

2. Objetivos

Informe a los estudiantes qué estudiarán y qué aprenderán hoy. Dígales algo como:

• Hoy ampliaremos nuestros conocimientos sobre fractales, auto-similaridad y reconocimiento de patrones presentes en fractales.
• Usaremos computadores para aprender sobre estos conceptos, pero por favor no enciendan el computador ni pasen a la página correspondiente hasta cuando yo lo indique. Antes quiero mostrarles algo relacionado con esta actividad.

3. Aportes del maestro

• Guíe a los estudiantes en varios pasos de la actividad El triángulo de Sierpinski. Ellos deben tomar nota de los patrones formados por las áreas de los triángulos individuales y por área total. Puede ser necesario dibujar dos o tres iteraciones antes de que el patrón numérico sea obvio.
• Discuta el número de triángulos presentes en cada iteración; vea si alguno de los estudiantes identifica el patrón que lo establece.
• Haga que los estudiantes discutan sobre lo que creen que pasará al área del Triángulo de Sierpinki a medida que el número de iteraciones sobrepasa la capacidad de calculo del computador. ¿Podrá llegar a ser cero el área del triángulo?

4. Práctica guiada

• Haga que los estudiantes repitan el ejercicio anterior con la actividad el tapete de Sierpinski .
• Oriente una discusión con la clase sobre la similitud entre estos fractales y los fractales por doblamiento de segmentos de recta de la lección Infinito, auto similaridad y repetición.

5. Práctica independiente

• Usted puede considerar la conveniencia de entregar a los estudiantes las hojas de trabajo de estos “simulacións” para que trabajen sobre ellas.
• Alternativamente, puede hacer que los estudiantes calculen las áread del Tapete y del Triángulo de Sierpinski en diferentes iteraciones.

6. Cierre

• Reúna la clase para discutir los resultados. Cuando los estudiantes hayan compartido sus experiencias, haga un resumen de la lección.

Esta lección se puede reorganizar de varias maneras:

• Combine estas actividades con las de la lección Infinito, auto-similaridad y recursión.
• Omita la discusión sobre los conceptos y céntrese en el reconocimiento de patrones y fracciones.

Después de estas discusiones y actividades, los estudiantes habrán visto algunos de los fractales clásicos de figura plana, los cuales podrán comparar con los de la lección Infinito, auto-similaridad y recursión . La lección siguiente, Fractales y el juego del caos , muestra al estudiante cómo, a partir de ideas diferentes, se pueden obtener fractales del mismo tipo.