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Copo de nieve de Koch

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Copo de nieve de Koch

Los estudiantes se familiarizan con el desarrollo del Copo de nieve de Koch - un fractal generado por la deformación de los lados de un triángulo y que les permite la exploración de patrones numéricos en secuencias y de las propiedades geométricas de los fractales.
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¿En qué consiste la actividad Copo de nieve de Koch ?

Esta actividad permite al usuario asistir al proceso de generación de un fractal construido al deformar una línea por doblamiento.

La Curva de Koch fue estudiada por Helge von Koch en 1904. Cuando se considera en su forma de copo de nieve (vea las figuras siguientes), la curva es infinitamente larga, pero rodea un área finita.

Para construir la curva de Koch original, comience con un segmento de recta de longitud de 1 unidad. (Iteración 0, o el iniciador)

Remplace cada segmento de recta con el siguiente generador:

Note que estamos remplazando el segmento original por cuatro nuevos segmentos, cada uno de longitud 1/3 de la longitud original. Repita este proceso en todos los segmentos de recta. Las etapas 0, 1 y 2 se muestran a continuación.

La curva límite de este proceso se conoce como la curva de Koch. Tiene una longitud infinita. Observe que otra característica que resulta de este proceso iterativo es aquel de la auto-similaridad, es decir, si hacemos “zoom” para aumentar alguna parte de la curva de Koch, vemos copias de sí misma.

La idea de la curva de Koch se extendió al “Copo de nieve” de Koch, al aplicar el mismo generador a los tres lados de un triángulo equilátero; las primeras 4 iteraciones se muestran a continuación:

En el límite, el cristal tiene un perímetro infinito pero un área finita.

Recursos para la clase

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Actividad

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¿Cómo puedo utilizar esta actividad?

Descripción

Controles y Resultados

Esta actividad permite al usuario asistir al proceso de generación de un fractal construido al deformar una línea por doblamiento. Esta “simulación” requiere de un navegador capaz de manejar Java. Si usted no ve la “simulación”, puede ser que Java no funcione con su navegador o en su computador. Esta “simulación” no está disponible en otra forma. Controles y resultados

  • Los botones de Etapa anterior y Etapa posterior controlan qué etapa del fractal se está mostrando en el “simulación”.

  • La Casilla de resultados, en la parte superior del “simulación”, muestra para la actual etapa de resultados, el número de segmentos individuales de recta y la longitud de cada uno.

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Recursos y contexto curricular

Esta actividad permite al usuario asistir al proceso de construcción del Copo de nieve de Koch. Si usted utiliza laspreguntas de exploración esta actividad funcionará bien con 2 a 4 estudiantes y les tomará unos 35 minutos; de lo contrario, requerirá unos 5 minutos.

Ubicación en el currículo de matemáticas

Esta actividad se puede usar para que:

  • Los estudiantes practiquen sus habilidades en el manejo de fracciones.
  • Los estudiantes practiquen sus habilidades en encontrar patrones.
  • Los estudiantes practiquen sus habilidades en el manejo de áreas y perímetros.
  • Mostrar la complejidad del infinito.
  • Motivar las ideas de auto-similaridad y recursión.
  • Mostrar objetos fractales.
  • Motivar la idea de un límite.

Estándares alcanzados

Esta actividad se puede usar para referirse a los siguientes estándares:

  • Estándar de medición
    • Entender las características medibles de los objetos, así como las unidades, sistemas y procesos de medición.

Esté preparado para:

  • Indicar a los estudiantes lo que deben hacer. Por ejemplo “hoy vamos a registrar datos en una tabla en la hoja de trabajo y a ver si podemos identificar patrones en los números…”
  • Responder la pregunta: “¿Qué se entiende por el n-simo caso”?
  • Discutir acerca del infinito, longitud, encontrar patrones en números, etc.

Recursos para clases

Lecciones asociadas