Los conjuntos de Julia

Esta actividad permite al usuario investigar acerca de los conjuntos de Julia asociados con las funciones:

f(Z) = Z^2 + C

para cualquier número complejo C = (a,b) en el círculo de radio 2.

Para entender los conjuntos de Julia y en últimas el conjunto de Mandelbrot—el fractal más famoso del mundo--necesitamos hallar la frontera entre los conjuntos del prisionero y del fugitivo para un C particular.

Una de estas funciones es, por ejemplo: f (Z) = Z^2 + (.5,.5) . Si comenzamos con el punto (0,0) y lo reemplazamos en la función:

f(0,0) = (0,0)^2 + (.5,.5) = (0,0) + (.5,.5) = (.5,.5) 
f(.5,.5) = (.5,.5)^2 + (.5,.5) = (0,.5) + (.5,.5) = (.5,1) 
f(.5,1) = (.5,1)^2 + (.5,.5) = (-.75,1) + (.5,.5) = (-.25,1.5) 
f(-.75,1.5) = (-.75,1.5)^2 + (.5,.5) = (-2.1875,-.75) + (.5,.5) = (-1.6875,-.25) 
f(-1.6875,-.25) = (-1.6875,-.25)^2 + (.5,.5) = (2.7852,.84375) + (.5,.5) = (3.2852,1.34375)

Veamos un gráfico:

El gráfico está en el conjunto del fugitivo para C=(.5,.5). Si continuamos este proceso para muchos puntos podremos tener una idea del conjunto de Julia. Para C=(.5,.5) tenemos:

Observe que no hay áreas negras en esta imagen. (Las áreas negras identificarían a los prisioneros). Sí hay prisioneros, pero están completamente dispersos y aislados entre ellos. Esto obliga al conjunto de Julia--los puntos que no son ni prisioneros, ni fugitivos--a estar totalmente desconectados entre sí. Los otros colores en la imagen son los fugitivos, y los diferentes colores muestran qué tan pronto saltó hacia afuera del círculo de radio 2.

Aquí tenemos otro ejemplo con un conjunto prisionero obvio; C = (0,0).

En este caso el conjunto de prisioneros es grande y conexo y da como resultado un conjunto anexo de Julia, el círculo de radio 1. Mandelbrot encontró que sólo estas dos cosas pasan: o bien el conjunto de Julia es un fractal como de nube de polvo (totalmente desconectado) o es una sola pieza.

Aquí tenemos algunos de los conjuntos de Julia más conocidos:

C = (-1,0):

C = (-.1,.8):

C = (.5,0):

C = (-.8,.4)

Los dos primeros son conexos y los dos últimos son fractales de nubes de polvo. Esta es la base para el conjunto de Mandelbrot.

Descripción

Esta actividad permite al usuario investigar acerca de los conjuntos de Julia asociados con funciones

f (Z) = Z^2 + C

para cualquier número complejo C=(a,b) en el círculo de radio 2.

Controles y Resultados

• El conjunto de Julia se dibuja en el área rectangular de la parte superior de la pantalla. Los puntos negros son prisioneros; los puntos coloreados son fugitivos (las diferencias de color muestran qué tan rápidamente escapan ellos del círculo de radio 2).

• La celda Constante= , es para el valor de C del conjunto de Julia que usted quiere ver. Anote un valor decimal en cada una de las dos celdas. Para mejores resultados cada valor debe ser inferior a 2.

• Seleccione el botón Dibujar para borrar el conjunto de Julia actual y dibujar uno nuevo con los valores asignados a la constante.

Esta actividad permite al usuario investigar acerca del conjunto de Julia asociado con funciones

f(Z) = Z^2 + C

para cualquier número complejo C=(a,b) en el círculo de radio 2. Si usted utiliza las preguntas de exploración esta actividad funcionará bien con 2 o 3 estudiantes y les tomará unos 30 minutos; de lo contrario, requerirá unos 10 minutos.

Esta actividad puede usarse para lograr que los estudiantes:

• Practiquen sus habilidades aritméticas.
• Practiquen sus habilidades para graficar puntos.
• Tengan una presentación introductoria de los números complejos.
• Investiguen las nociones de conjuntos de Julia y conjuntos de prisioneros y de fugitivos.
• Exploren el sistema de Mandelbrot

Esta actividad se puede usar para referirse a los siguientes estándares:

• Estándar de números y operaciones
  • Comprender números, formas de representar números, relaciones entre números y sistemas de números.
• Estándar de álgebra
  • Comprender patrones, relaciones y funciones.

• Dar a los estudiantes instrucciones implícitas sobre lo que deben hacer. Por ejemplo “Hoy vamos a investigar sobre prisioneros, fugitivos y números complejos, utilizando la actividad del conjunto de Julia, la Función de la bomba de dos variables y la hoja de trabajo del conjunto de Julia…”
• Responder a la pregunta: “¿Qué es un prisioneros y qué es un fugitivo?”
• Discutir sobre números complejos y cómo dibujar puntos en un plano.

• Preguntas de exploración .

• Preguntas de exploración
• Discusión sobre Funciones de dos variables
• Discusión sobre El plano de coordenadas
• Discusión sobre Prisioneros y fugitivos.
• Discusión sobre El conjunto de Mandelbrot
• Actividad Funciones de dos variables
• Actividad El conjunto de Mandelbrot