El conjunto de Mandelbrot

Las actividades y las discusiones de esta lección siguen los estándares del CNMM:

Álgebra

Comprende patrones, relaciones y funciones.

• Representa, analiza y generaliza diversos patrones con tablas, gráficos, palabras y, cuando es posible, con reglas simbólicas.
• Relaciona y compara diferentes formas de representación de una relación.
• Identifica funciones lineales y no-lineales y contrasta sus propiedades a partir de tablas, gráficos y ecuaciones.

Representa y analiza situaciones y estructuras matemáticas mediante símbolos algebraicos.

• Desarrolla una comprensión conceptual inicial de diferentes usos de variables.
• Usa álgebra simbólica para representar situaciones y resolver problemas, especialmente aquellos que involucran relaciones lineales.

Geometría

Especifica posiciones y describe relaciones espaciales usando geometría de coordenadas y otras formas de representación.

• Usa geometría de coordenadas para representar y examinar las propiedades de figuras geométricas.

Usa visualización, razonamiento espacial y modelos geométricos para resolver problemas

• Usa herramientas visuales, por ejemplo cuadrículas, para representar y resolver problemas.
• Reconoce y aplica ideas y relaciones geométricas en contextos diferentes a los del salón de clase de matemáticas, como el arte, la ciencia y la vida diaria.

• Geometría : Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Reconocer figuras geométricas básicas.
• Aritmética: Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Trabajar con enteros como factores de escala y en razones y proporciones.
  • Desarrollar operaciones básicas entre las cuales elevar al cuadrado.

• Álgebra : Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Trabajar con expresiones y funciones algebraicas simples, como expresiones lineales y cuadráticas.
  • Graficar pares ordenados de puntos en un plano de coordenadas cartesianas.
• Tecnológicas: Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Hacer con el ratón del computador operaciones básicas como señalar, hacer clic y arrastrar.
  • Utilizar navegadores, Netscape por ejemplo, para experimentar con las actividades.

Los estudiantes necesitarán:

• Acceso a un navegador.
• Copias de materiales suplementarios para las actividades:
  • Hoja de trabajo para la máquina de funciones
  • Hoja de trabajo para El conjunto de Julia
  • Hoja de trabajo para El conjunto de Mandelbrot

• caos
• fugitivo
• fractal
• conjunto de Julia
• conjunto de Mandelbrot
• prisionero
• auto-similaridad

Se obtienen mejores resultados si los estudiantes trabajan esta lección individualmente. Asígneles como mínimo 30 minutos para que exploren cada uno de los “simulacións”.

1. Énfasis y revisión

Repase con los estudiantes lo aprendido en lecciones anteriores y que sea pertinente para este caso, y hágalos pensar en las palabras e ideas de esta lección.

• ¿Alguien recuerda qué es un fractal?
• ¿Cuáles son algunos fractales vistos hasta ahora?

2. Objetivos

Cuente a los estudiantes qué harán y qué aprenderán hoy. Dígales algo como:

• Hoy aprenderemos a calcular funciones de números complejos y veremos que estas funciones permiten crear fractales como los conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot.
• Usaremos computadores para aprender sobre funciones de números complejos, pero por favor no enciendan el computador hasta cuando yo lo indique. Antes quiero mostrarles algo relacionado con la actividad.

3. Aportes del maestro

• Oriente una discusión sobre funciones de dos variables ( estas funciones pueden verse también como funciones de números complejos).
• Oriente otra discusión sobre iteración de funciones, y conjuntos de Julia.

4. Práctica guiada

• Permita que los estudiantes trabajen con el “simulación” Iterador de funciones para que investiguen sobre iteración de funciones de dos variables, y sobre prisioneros y fugitivos.
• Pídales que trabajen con el “simulación” Conjuntos de Julia para que investiguen qué tipos de patrones de fractales interesantes se obtienen de las fronteras de los conjuntos de prisioneros.
• Oriente una discusión sobre la construcción del conjunto de Mandelbrot a partir del comportamiento del conjunto de Julia.

5. Práctica independiente

• Genere un conjunto de patrones que los estudiantes deban identificar en el interior del conjunto de Mandelbrot.
• Pida a los estudiantes que trabajen con el “simulación” El conjunto de Mandelbrot, para que investiguen qué tipo de patrones de fractales interesantes se pueden obtener haciendo “zoom” en partes del conjunto.

6. Cierre

• Reúna la clase para discutir los resultados. Una vez que los estudiantes hayan compartido sus experiencias, haga un resumen de la lección.

Esta lección se puede reorganizar de varias maneras. Sin embargo, es mejor no suprimir ninguna de las discusiones o actividades, pues los estudiantes podrían no entender bien las ideas subyacentes al conjunto de Mandelbrot.

• Incluya la tarea de tratar de encontrar una imagen que se parezca a un objeto real.
• Haga un concurso cuyo objetivo es encontrar la imagen más interesante. Otros maestros, o la clase entera servirán como jueces (Haga que los estudiantes impriman las imágenes, para poder exhibirlas).
• Si tiene conexión a Internet, use la versión del “simulación” El microscopio de fractales , para explorar más a fondo el conjunto de Mandelbrot.

Como resultado de estas discusiones y actividades, los estudiantes habrán visto cómo se construye el conjunto de Mandelbrot para el caso sencillo de funciones cuadráticas. Este conjunto tiene muchas propiedades numérico-teóricas que vale la pena explorar. Para lecturas adicionales sobre este tema, tan bello como complejo, pueden leerse estos textos, en idioma inglés:

Michael Barnsley, Fractals Everywhere , Academic Press 1988.

Benoit Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature , W. H. Freeman 1982.

H.-O. Peitgen and P. H. Richter, The Beauty of Fractals , Springer-Verlag 1986.