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El conjunto de Mandelbrot

Muestra cómo el sistema de todos los Conjuntos de Julia se utiliza para crear el clásico fractal de Mandelbrot.

Estudiante: Veamos, he jugado con los Conjuntos de Julia y he encontrado unas imágenes muy interesantes,  ¡pero ninguna era El  conjunto de Mandelbrot!   ¿Cómo la consigo?

Maestro: El conjunto de Mandelbrot fue descubierto mucho después que  los Conjuntos de Julia.  Julia y Fatou estudiaron los conjuntos de Julia poco después de la primera guerra mundial, pero solamente cuando se hizo más fácil disponer de computadores y programarlos, por allá en los años 1960’s y 1970’s,  los matemáticos conocieron la apariencia de los conjuntos de Julia, y qué tantos tipos de éstos había. En los 1970’s,  Benoit Mandelbrot se dedicó a investigar formas muy irregulares de geometría, como las lineas costeras, cadenas de montañas y formaciones de coral, y nuevamente retomó los conjuntos de Julia  con la ayuda de los computadores.

  • Los conjuntos de Julia pueden ser fractales ya que tienen dimensión fraccionaria y auto-similaridad.
  • Los conjuntos de Julia son o una sola pieza, como el circulo para Z2 + (0,0), o completamente de nube de polvo, como   los puntos que obtenemos para  Z2 + (1/2,0).
  • Existe un patrón para los conjuntos de Julia que son una sola pieza y que son nube de polvo. Solamente tenemos que mirar qué le sucede al punto (0,0) cuando iteramos: Si (0,0) se escapa, entonces el conjunto de Julia es nube de polvo, si (0,0) no se escapa, entonces el conjunto de Julia  es conexo.

Estudiante:   Entonces ¿dónde encaja el conjunto de Mandelbrot?

Maestro: Tome el conjunto de  todas las funciones  f (Z) = Z2 + C y busque todos los puntos C posibles y sus conjuntos de Julia. Si el conjunto de Julia es conexo,  coloree el punto C  de negro, y si el conjunto de Julia es de nube de polvo  no lo coloree. He aquí el resultado:


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Estudiante: Entonces si su conjunto de Julia es conexo, ¿C está en el conjunto?

Maestro: Es correcto. Algunas personas han embellecido este conjunto coloreando los puntos fuera del conjunto.  La mayoría le agrega color usando puntos de diferentes colores,  según cuántas iteraciones se requieren para que el punto (0,0) se salga del circulo de radio 2. Recuerde que así fue como definimos que el conjunto de Julia es de nube de polvo.
Ensaye a trabajar  con El conjunto de Mandelbrot.

Estudiante: ¿Cómo es que se relaciona el conjunto de Mandelbrot con los fractales? Sé que muchos de los conjuntos de Julia son fractales.

Maestro: El conjunto de Mandelbrot es un fractal. Mire sus bordes.   Son muy complicados y tienen auto-similaridad. Trate de hacer un “zoom” utilizando el Conjunto de Mandelbrot.

Estudiante: ¿Entonces el conjunto de Mandelbrot es en realidad una imagen de cómo se comportan todos los conjuntos de Julia de la forma f(Z) = Z2  + C? 

Maestro: Sí. Pero existen otros conjuntos de Mandelbrot.  Por ejemplo, podemos considerar  f(Z) = Z3 + C. Es interesante ver cómo  el exponente 3, u otros exponentes,  cambian los conjuntos de Julia y  el conjunto de Mandelbrot.