El Conjunto de Mandelbrot

Esta actividad permite al usuario investigar acerca del conjunto de Mandelbrot asociado con las funciones

f(Z) = Z^2 + C

Para entender el conjunto de Mandelbrot--el fractal más famoso del mundo--tenemos que utilizar el hecho de que los conjuntos de Julia para un valor particular de C en la función ya enunciada, son partículas en un fractal de nube de polvo o forman un conjunto conexo.

Para C=(.5,.5) tenemos que el fractal de nube del conjunto de Julia es:

Aquí tenemos uno cuyo conjunto de Julia es conexo, C = (0,0).

A Mandelbrot se le ocurrió la idea de graficar las Cs con conjuntos conexos de Julia y encontró que la frontera era muy interesante-- ¡y es un fractal!

Los puntos negros son los Cs con conjuntos de Julia conexos y los puntos coloreados son Cs con fractales de nube, de conjuntos de Julia. Mandelbrot probó que se puede predecir si un conjunto de Julia es un fractal de nube de polvo o no, según si el punto inicial (0,0) es un prisionero (conexo) o un fugitivo (nube de polvo). Así que los colores dependen de qué tan rápido la orbita del punto inicial (0,0) se sale del círculo de radio 2.

Descripción

Esta actividad permite al usuario investigar acerca del conjunto de Mandelbrot asociado con las funciones

f (Z) = Z^2 + C

Controles y Resultados

• Los conjuntos de Julia o de Mandelbrot se dibujan en el área rectangular de la parte superior de la pantalla. Para acercar una parte de cualquiera de los dos conjuntos, haga clic en una esquina de la parte que quiere ver de cerca. Teniendo presionado el botón del ratón, muévalo a la esquina opuesta diagonalmente. La zona seleccionada cambiará de colores a medida que usted mueve el ratón. Cuando haya seleccionado la zona, suelte el botón del ratón y en la pantalla se generará la nueva figura.

• Si está viendo el conjunto de Mandelbrot y quiere ver el conjunto de Julia, haga clic en la celda que dice Mostrar el conjunto de Julia al hacer clic. Después haga clic en el conjunto de Mandelbrot. Entonces aparecerá el conjunto de Julia correspondiente al punto en el que hizo clic.

• Si está viendo el conjunto de Julia y quiere ver el de Mandelbrot, haga clic en la celda que dice Mostrar el conjunto de Mandelbrot al hacer clic. Después haga clic sobre el conjunto de Julia para ver nuevamente el conjunto de Mandelbrot.

• Para reiniciar el ejercicio, simplemente haga clic en el botón Comenzar de nuevo

Esta actividad permite al usuario investigar el conjunto de Mandelbrot asociado con las funciones

f(Z) = Z^2 + C

Si usted utiliza las preguntas de exploración esta actividad funcionará bien con 2 o 3 estudiantes y les tomará unos 30 minutos; de lo contrario, requerirá unos 10 minutos.

Esta actividad puede usarse para lograr que:

• Los estudiantes practiquen sus habilidades aritméticas.
• Los estudiantes practiquen sus habilidades para graficar puntos.
• Los estudiantes tengan una presentación introductoria de los números complejos.
• Los estudiantes investiguen las nociones de conjuntos de Julia, de prisioneros y de fugitivos.
• Los estudiantes exploren el conjunto de Mandelbrot

Esta actividad se puede usar para referirse a los siguientes estándares:

• Estándar de números y operaciones
  • Entender números, formas de representar números, relaciones entre números y sistemas de números.
• Estándar de álgebra
  • Entender patrones, relaciones y funciones.

• Dar a los estudiantes instrucciones implícitas sobre lo que deben hacer. Por Ejemplo: “Hoy vamos a ver qué aprendemos del conjunto de Mandelbrot. Trataremos de responder las preguntas de la hoja de trabajo...”
• Responda a la pregunta: “¿Qué debemos obtener de esta actividad?”
• Discuta cómo se obtiene un conjunto de Mandelbrot.

• Preguntas de exploración.

• Preguntas de exploración
• Discusión sobre Prisioneros y fugitivos.
• Discusión sobre El conjunto de Mandelbrot
• Actividad Los conjuntos de Julia