Dimensión fractal

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Dimensión fractal

Los estudiantes se familiarizan con el "Juego del caos" experimentando con probabilidades y aprenden sobre un proceso aparentemente aleatorio que resulta en un fractal geométrico no tan aleatorio.

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¿En qué consiste la actividad Dimensión fractal ?

Esta actividad permite al usuario jugar el juego del caos escogiendo el número de vértices.

¿Por qué es interesante este juego? ¿Qué ocurre cuando vaciamos una bolsa de bolas de cristal en el piso? Cuando terminan de rodar, las bolas tienen una disposición que probablemente no es muy interesante. Si repetimos la operación de soltar nuevamente las bolas en el mismo piso, ¿esperamos obtener la misma disposición? No. Este patrón es completamente aleatorio y así lo esperábamos. El Juego del caos fue propuesto por Michael Barnsley en la mitad de los años 80's como una forma de constatar que de ciertos eventos aleatorios pueden resultar patrones.

Empezamos el juego con un conjunto de puntos en una página -- los llamamos vértices. El juego clásico comienza con tres vértices 1, 2, y 3, y los dispone como vértices de un triángulo equilátero.

Ahora escogemos en forma aleatoria un punto en la página, y luego lanzamos un dado de tres caras. Nos movemos a la mitad de la distancia hasta el punto que salió en el dado y dibujamos un nuevo punto. Como es difícil, ¡de hecho imposible! encontrar un dado de tres caras, tomamos una de las seis caras y determinamos que si sale 1 o 2 nos movemos hacia el vértice 1; que si sale 3 o 4 nos movemos hacia el vértice 2; y que si sale 5 o 6 nos movemos hacia el vértice 3.

Por ejemplo, supongamos que escogemos el punto P y que luego lanzamos el dado y obtenemos 1, 6, 2, 2, y 4 en ese orden:

Continuamos dibujando puntos de esta manera. Después de 500 puntos empieza a aparecer un patrón:

Aquí quitamos las flechas y coloreamos los puntos con el mismo color del vértice hacia el que nos movíamos. ¿Reconoce el patrón? Esto es precisamente lo que Barnsley quería demostrar: la aleatoriedad puede generar patrones muy precisos algunas veces.

Recursos para la clase

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Actividad

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¿Cómo puedo utilizar esta actividad?

Descripción

Esta actividad permite al usuario ver patrones en un conjunto de puntos obtenidos aparentemente en forma aleatoria, y explorar el juego del caos cambiando tanto el número de vértices, como el número de puntos mostrados.

Controles y Resultados

El Área de dibujo es la parte superior de la “simulación”, donde se dibujan los puntos:

Usted puede mover los vértices , que aparecen como puntos más grandes, haciendo clic y arrastrándolos con el ratón.

Inicialmente, no se dibuja ningún punto. Para dibujar algunos, primero seleccione del menú desplegable el número de puntos que quiere añadir, y haga clic en el botón de Adicionar.

Con el botón de Cancelar se eliminan todos los puntos dibujados hasta ese momento.
Usted puede escoger la Probabilidad de moverse hacia un cierto vértice. Entre más alto sea el valor seleccionado, mayor es la probabilidad de que sea elegido ese color. En el ejemplo siguiente el rojo y el verde tienen una probabilidad de 1.0.

Además de las probabilidades, también el Número de vértices afecta la forma en que los puntos serán dibujados. Usted puede decidir este número al hacer clic en los botones Uno más o Uno menos . También puede seleccionar el número de vértices directamente del menú desplegable ubicado entre estos dos botones.

Esta versión del Juego del caos es bastante limitada. Usted puede jugar con la Versión avanzada al hacer clic en el botón Ir a la versión completa.

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Recursos y contexto curricular

Esta actividad permite al usuario jugar con varias versiones de El juego del Caos de Barnsley. Si usted utiliza las preguntas de exploración esta actividad funcionará bien con 2 a 4 estudiantes y les tomará unos 35 minutos; de lo contrario, requerirá unos 15 minutos.

Ubicación en el currículo de matemáticas

Esta actividad puede usarse para:

Practicar con manejo de fracciones.
Practicar con manejo de mediciones.
Practicar con manejo de probabilidades geométricas.
Mostrar la aleatoriedad.
Motivar las ideas del caos.
Mostrar objetos fractales.

Estándares alcanzados

Esta actividad se puede usar para referirse a los siguientes estándares:

Estándar de medición
- Aplicar técnicas, herramientas y fórmulas apropiadas para determinar medidas.
Estándar de análisis de datos
- Utilizar proporcionalidad y una comprensión básica de probabilidad para hacer y probar conjeturas acerca de los resultados de los experimentos y las simulaciones.

Esté preparado para:

Instruir al estudiante sobre lo que debe hacer. Por ejemplo “Hoy vamos a ver qué pasa cuando jugamos un juego en que interviene la aleatoriedad. Estas son las reglas…”
Responder a la pregunta: “¿Por qué y cómo se genera este patrón?”
Discutir sobre caos, infinito, etc...